Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 470]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 52408  (#М122)

Темы:   [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Пятиугольники ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Вписанные и описанные многоугольники ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

Пятиугольник ABCDE вписан в окружность. Расстояния от точки A до прямых BC, CD и DE равны соответственно a, b и c.
Найдите расстояние от вершины A до прямой BE.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73658  (#М123)

Темы:   [ Произведения и факториалы ] [ Простые числа и их свойства ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ] [ Уравнения в целых числах ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Найдите все такие натуральные числа m, что произведение факториалов первых m нечётных натуральных чисел равно факториалу суммы первых m натуральных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73660  (#М125)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Последовательности (прочее) ] [ Перебор случаев ]

Сложность: 5- Классы: 8,9,10

а) Существует ли бесконечная последовательность натуральных чисел, обладающая следующим свойством: ни одно из этих чисел не делится на другое, но среди каждых трёх чисел можно выбрать два, сумма которых делится на третье?

б) Если нет, то как много чисел может быть в наборе, обладающем таким свойством?

в) Решите ту же задачу при дополнительном условии: в набор разрешено включать только нечётные числа.

Вот пример такого набора из четырёх чисел: 3, 5, 7, 107. Здесь среди трёх чисел 3, 5, 7 сумма  5 + 7  делится на 3; в тройке 5, 7, 107 сумма  107 + 5  делится на 7; в тройке 3, 7, 107 сумма  7 + 107  делится на 3; наконец, в тройке 3, 5, 107 сумма  3 + 107  делится на 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 56804  (#М126)

Темы:   [ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ] [ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ] [ Длины сторон (неравенства) ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Вписанные и описанные многоугольники ] [ Свойства частей, полученных при разрезаниях ]

Сложность: 5 Классы: 9,10

Многоугольник, описанный около окружности радиуса r, разрезан на треугольники (произвольным образом). Докажите, что сумма радиусов вписанных окружностей этих треугольников больше r.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73662  (#М127)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Примеры и контрпримеры. Конструкции ] [ Индукция (прочее) ] [ Принцип крайнего (прочее) ] [ Доказательство от противного ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Для каждого натурального n обозначим через  s(n)  сумму цифр его десятичной записи. Назовём натуральное число m особым, если его нельзя представить в виде  m = n + s(n).  (Например, число 117 не особое, поскольку  117 = 108 + s(108),  а число 121, как нетрудно убедиться, – особое.) Верно ли, что особых чисел существует лишь конечное число?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 22 23 24 25 26 27 28 >> [Всего задач: 470]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями