Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 470]

Задача 55380 (#М807а)

Темы:	[	Векторы	]
Темы:	[	Правильный (равносторонний) треугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Прасолов В.В.

Из произвольной точки M внутри равностороннего треугольника опущены перпендикуляры MK₁, MK₂, MK₃ на его стороны. Докажите, что

$\displaystyle \overrightarrow{MK_{1}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{2}}$ + $\displaystyle \overrightarrow{MK_{3}}$ = $\displaystyle {\textstyle\frac{3}{2}}$ ^. $\displaystyle \overrightarrow{MO}$ ,

где O — центр треугольника.

Прислать комментарий Решение

Задача 97800 (#М816)

Темы:	[	Десятичная система счисления	]
Темы:	[	Перебор случаев	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Лисицкий А.Д.

Натуральные числа M и K отличаются перестановкой цифр.
Доказать, что
а) сумма цифр числа 2M равна сумме цифр числа 2K;
б) сумма цифр числа ^M/₂ равна сумме цифр числа ^K/₂ (если M и K чётны);
в) сумма цифр числа 5M равна сумме цифр числа 5K.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97804 (#М819)

Темы:	[	Отношение порядка	]
	[	Обход графов	]
	[	Упорядочивание по возрастанию (убыванию)	]
	[	Перестановки и подстановки (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Автор: Коганов И.

В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться. Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.

Прислать комментарий

Решение

Задача 97796 (#М820)

Темы:	[	Разрезания на параллелограммы	]
Темы:	[	Топология (прочее)	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Автор: Произволов В.В.

Правильный 4k-угольник разрезан на параллелограммы. Доказать, что среди них не менее k прямоугольников. Найти их общую площадь, если длина стороны 4k-угольника равна a.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98205 (#М856)

Темы:	[	Четырехугольники (построения)	]
	[	Построение треугольников по различным элементам	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Параллелограмм Вариньона	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9

Автор: Титович И.З.

Построить выпуклый четырёхугольник, зная длины всех сторон и отрезка, соединяющего середины диагоналей.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 58 59 60 61 62 63 64 >> [Всего задач: 470]