Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 >> [Всего задач: 470]

Задача 98140 (#М1354)

Темы:	[	Площадь треугольника (прочее)	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Центр масс	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Анджанс А.

Даны три треугольника: A₁A₂A₃, B₁B₂B₃, C₁C₂C₃. Известно, что их центры тяжести (точки пересечения медиан) лежат на одной прямой, а никакие три из девяти вершин этих треугольников не лежат на одной прямой. Рассматриваются 27 треугольников вида A_iB_jC_k, где i, j, k независимо пробегают значения 1, 2, 3. Докажите, что эти 27 треугольников можно разбить на две группы так, что сумма площадей треугольников первой группы будет равна сумме площадей треугольников второй группы.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64639 (#М1363)

Темы:	[	Обход графов	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Жуков Г.

Можно ли n раз рассадить 2n + 1 человек за круглым столом, чтобы никакие двое не сидели рядом более одного раза, если
а) n = 5; б) n = 4; в) n – произвольное натуральное число?

Прислать комментарий

Решение

Задача 79622 (#М1365)

Темы:	[	Раскраски	]
	[	Многогранники и многоугольники (прочее)	]
	[	Выпуклые тела	]
	[	Четность и нечетность	]
	[	Подсчет двумя способами	]

Сложность: 4+
Классы: 10,11

Автор: Токарев С.И.

Каждая грань выпуклого многогранника – многоугольник с чётным числом сторон.
Обязательно ли его рёбра можно раскрасить в два цвета так, чтобы у каждой грани было поровну рёбер разных цветов?

Прислать комментарий

Решение

Задача 98150 (#М1392)

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Периодичность и непериодичность	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Автор: Концевич М.

В четырёхугольнике ABCD AB = BC = CD = 1, AD не равно 1. Положение точек B и C фиксировано, точки же A и D подвергаются преобразованиям, сохраняющим длины отрезков AB, CD и AD. Новое положение точки A получается из старого зеркальным отражением в отрезке BD, новое положение точки D получается из старого зеркальным отражением в отрезке AC (где A уже новое), затем на втором шагу опять A отражается относительно BD (D уже новое), затем снова преобразуется D, затем аналогично проводится третий шаг, и так далее. Докажите, что на каком-то шагу положение точек совпадает с первоначальным.

Прислать комментарий

Решение

Задача 98160 (#М1393)

Темы:	[	Теория алгоритмов (прочее)	]
	[	Таблицы и турниры (прочее)	]
	[	Разложение в произведение транспозиций и циклов	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Анджанс А.

В таблице m строк, n столбцов. Горизонтальным ходом называется такая перестановка элементов таблицы, при которой каждый элемент остаётся в той строке, в которой он был и до перестановки; аналогично определяется вертикальный ход ("строка" в предыдущем определении заменяется на "столбец"). Укажите такое k, что за k ходов (любых) можно получить любую перестановку элементов таблицы, но существует такая перестановка, которую нельзя получить за меньшее число ходов.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 75 76 77 78 79 80 81 >> [Всего задач: 470]