Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 470]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 98132  (#М1349)

Темы:   [ Процессы и операции ] [ Полуинварианты ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ]

Сложность: 4+ Классы: 7,8,9

Круг разбит на n секторов, в некоторых секторах стоят фишки – всего фишек  n + 1.  Затем позиция подвергается преобразованиям. Один шаг преобразования состоит в следующем: берутся какие-нибудь две фишки, стоящие в одном секторе, и переставляются в разные стороны в соседние секторы. Докажите, что через некоторое число шагов не менее половины секторов будет занято.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98142  (#М1350)

Темы:   [ Делимость чисел. Общие свойства ] [ Раскладки и разбиения ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9,10

Пусть n и b – натуральные числа. Через  V(n, b)  обозначим число разложений n на сомножители, каждый из которых больше b (например:
36 = 6·6 = 4·9 = 3·3·4 = 3·12,  так что  V(36, 2) = 5).  Докажите, что  V(n, b) < ⁿ/_b.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98128  (#М1351)

Темы:   [ Прямоугольные треугольники (прочее) ] [ Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Пусть в прямоугольном треугольнике AB и AC – катеты,  AC > AB.  На AC выбрана точка E, а на BC – точка D так, что  AB = AE = BD.
Докажите, что треугольник ADE прямоугольный тогда и только тогда, когда стороны треугольника ABC относятся как  3 : 4 : 5.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98127  (#М1352)

Тема:   [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3- Классы: 7,8,9

n чисел  (n > 1)  называются близкими, если каждое из них меньше чем сумма всех чисел, делённая на  n – 1.  Пусть  a, b, c, ...   – n близких чисел, S – их сумма. Докажите, что
  а) все они положительны;
  б)  a + b > c;
  в)  a + b > ^S/_n–1.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 98139  (#М1353)

Темы:   [ Числовые таблицы и их свойства ] [ Полуинварианты ] [ Алгебраические неравенства (прочее) ] [ Классические неравенства (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Дана таблица n×n, заполненная числами по следующему правилу: в клетке, стоящей в i-й строке и j-м столбце таблицы записано число     В таблице зачеркнули n чисел таким образом, что никакие два зачёркнутых числа не находятся в одном столбце или в одной строке. Докажите, что сумма зачёркнутых чисел не меньше 1.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 74 75 76 77 78 79 80 >> [Всего задач: 470]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями