Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 469]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 73589  (#М54)

Темы:   [ Неравенства с площадями ] [ Площадь четырехугольника ]

Сложность: 4+ Классы: 8,9

Два одинаковых прямоугольника расположены так, что их контуры пересекаются в восьми точках. Докажите, что площадь пересечения этих прямоугольников больше половины площади каждого из них.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73590  (#М55)

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Суммы числовых последовательностей и ряды разностей ] [ Индукция (прочее) ]

Сложность: 6+ Классы: 8,9,10,11

Все натуральные числа, в десятичной записи которых не больше n цифр, разбили на два множества следующим образом. В первое множество входят числа с нечётной суммой цифр, а во второе — c чётной суммой цифр. Докажите, что для любого натурального числа k £ n сумма k-х степеней всех чисел первого множества равна сумме k-х степеней всех чисел второго множества.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 30308  (#М56)

Темы:   [ Четность и нечетность ] [ Процессы и операции ] [ Обратный ход ]

Сложность: 3+ Классы: 6,7

По кругу расставлено девять чисел – четыре единицы и пять нулей. Каждую секунду над числами проделывают следующую операцию: между соседними числами ставят ноль, если они различны, и единицу, если они равны; после этого старые числа стирают.
Могут ли через некоторое время все числа стать одинаковыми?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 73592  (#М57)

Темы:   [ Количество и сумма делителей числа ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4- Классы: 8,9,10

a) Найдите число k, которое делится на 2 и на 9 и имеет всего 14 делителей (включая 1 и k).
б) Докажите, что если заменить 14 на 15, то задача будет иметь несколько решений, а при замене 14 на 17 решений вообще не будет.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 55590  (#М58)

Темы:   [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Построение треугольников по различным точкам ] [ Углы между биссектрисами ] [ Построение треугольников по различным элементам ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

С помощью циркуля и линейки постройте треугольник, если дана одна его вершина и три прямых, на которых лежат его биссектрисы.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 9 10 11 12 13 14 15 >> [Всего задач: 469]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями