ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам | Поиск |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 176]      



Задача 56841  (#05.011)

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 8

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABCI — центр вписанной окружности, Ia — центр вневписанной окружности, касающейся стороны BC. Докажите, что:
а)  d2 = R2 - 2Rr, где d = OI;
б)  da2 = R2 + 2Rra, где da = OIa.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56842  (#05.012B)

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 8

Пусть O — центр описанной окружности треугольника ABC, I — центр вписанной окружности. Докажите, что OB$ \bot$BI (или же O совпадает с I) тогда и только тогда, когда b = (a + c)/2.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56843  (#05.012)

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 8

Продолжения биссектрис углов треугольника ABC пересекают описанную окружность в точках A1, B1 и C1M — точка пересечения биссектрис. Докажите, что:

a) $\displaystyle {\frac{MA\cdot MC}{MB_1}}$ = 2r;        б) $\displaystyle {\frac{MA_1\cdot MC_1}{MB}}$ = R.


Прислать комментарий     Решение

Задача 56844  (#05.013)

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 8

Длины сторон треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причем a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B1. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB1 пополам.
Прислать комментарий     Решение


Задача 56845  (#05.014)

Тема:   [ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 5
Классы: 8

В треугольнике ABC сторона BC наименьшая. На лучах BA и CA отложены отрезки BD и CE, равные BC. Докажите, что радиус описанной окружности треугольника ADE равен расстоянию между центрами вписанной и описанной окружностей треугольника ABC.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 176]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .