Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 1957]
Из произвольной внутренней точки O выпуклого n-угольника опущены
перпендикуляры на стороны (или их продолжения). На каждом перпендикуляре от
точки O по направлению к стороне построен вектор, длина которого равна
половине длины той стороны, на которую опущен перпендикуляр. Определить сумму
построенных векторов.
|
|
Сложность: 3- Классы: 10,11
|
В выпуклом четырехугольнике ABCD взят четырехугольник KLMN, образованный
центрами тяжести треугольников ABC, BCD, DBA и CDA. Доказать, что
прямые, соединяющие середины противоположных сторон четырехугольника ABCD,
пересекаются в той же точке, что и прямые, соединяющие середины противоположных
сторон четырехугольника KLMN.
|
|
Сложность: 3- Классы: 10,11
|
Рассмотрим лист клетчатой бумаги со стороной клетки, равной 1. Пусть Pk – число всех непересекающихся ломаных длины k, начинающихся в точке O – некотором фиксированном узле сетки. Доказать, что Pk·3–k < 2 для любого k.
|
|
Сложность: 3- Классы: 7,8,9,10
|
Доказать: число делителей n не превосходит 2
.
Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что ∠ABM = ∠CBN. Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что AC' = A'C.
Страница: << 15 16 17 18 19 20 21 >> [Всего задач: 1957]