Страница: << 323 324 325 326 327 328 329 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67005

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ] [ Центральное проектирование ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4 Классы: 9,10,11

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67291

Темы:   [ Последовательности (прочее) ] [ Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Возрастающая последовательность натуральных чисел $a_1 < a_2 < \dots$ такова, что при каждом целом $n > 100$ число $a_n$ равно наименьшему натуральному числу, большему чем $a_{n-1}$ и не делящемуся ни на одно из чисел $a_1, a_2, \dots, a_{n-1}$. Докажите, что в такой последовательности лишь конечное количество составных чисел.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67618

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ] [ Разбиения на пары и группы; биекции ] [ Теория графов (прочее) ]

Сложность: 4 Классы: 8,9,10,11

Назовём набор из $k$ последовательных натуральных чисел хорошим, если можно у каждого из этих чисел выбрать по простому делителю так, чтобы у всяких двух разных чисел были выбраны разные делители. В противном случае назовём набор плохим. При всяком ли натуральном $k$ количество плохих наборов из $k$ последовательных натуральных чисел конечно?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64616

Темы:   [ Математическая логика (прочее) ] [ Кооперативные алгоритмы ] [ Двоичная система счисления ] [ Четность и нечетность ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Одиннадцати мудрецам завязывают глаза и надевают каждому на голову колпак одного из 1000 цветов. После этого им глаза развязывают, и каждый видит все колпаки, кроме своего. Затем одновременно каждый показывает остальным одну из двух карточек – белую или чёрную. После этого все должны одновременно назвать цвет своих колпаков. Удастся ли это? Мудрецы могут заранее договориться о своих действиях (до того, как им завязали глаза); мудрецам известно, каких 1000 цветов могут быть колпаки.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 64617

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Радикальная ось ] [ Прямая Симсона ]

Сложность: 4+ Классы: 10,11

Даны две окружности и три прямые, каждая прямая высекает на окружностях хорды равной длины. Точки пересечения прямых образуют треугольник.
Докажите, что описанная окружность этого треугольника проходит через середину отрезка между центрами данных окружностей.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 323 324 325 326 327 328 329 >> [Всего задач: 1854]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями