Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1494 1495 1496 1497 1498 1499 1500 >> [Всего задач: 7526]

Задача 108143

Темы:	[	Перегруппировка площадей	]
	[	Площадь фигуры равна сумме площадей фигур, на которые она разбита	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Конкуррентность высот. Углы между высотами.	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10

Автор: Берлов С.Л.

На высотах (но не на их продолжениях) остроугольного треугольника ABC взяты точки A1 , B1 , C1 , отличные от точки пересечения высот H , причём сумма площадей треугольников ABC1 , BCA1 , CAB1 равна площади треугольника ABC . Докажите, что окружность, описанная около треугольника A1B1C1 , проходит через точку H .

Прислать комментарий Решение

Задача 108196

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Купцов Л.

Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая полуокружность в точках C и D, а прямую AB – в точке M (MB < MA,
MD < MC). Пусть K – отличная от O точка пересечения описанных окружностей треугольников AOC и DOB. Докажите, что угол MKO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108205

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Композиции гомотетий	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Терешин Д.А.

Каждая из окружностей S1 , S2 и S3 касается внешним образом окружности S (в точках A1 , B1 и C1 соответственно) и двух сторон треугольника ABC (см.рис.). Докажите, что прямые AA1 , BB1 и CC1 пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 108658

Темы:	[	Векторы помогают решить задачу	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Ортогональная (прямоугольная) проекция	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

Пусть B' — точка описанной окружности остроугольного треугольника ABC , диаметрально противоположная вершине B ; I — центр вписанной окружности треугольника ABC ; M — точка касания вписанной окружности со стороной AC . На сторонах AB и BC выбраны соответственно точки K и L , причём KB=MC и LB=AM . Докажите, что прямые B'I и KL перпендикулярны.

Прислать комментарий Решение

Задача 108894

Темы:	[	Точка Микеля	]
	[	Три окружности пересекаются в одной точке	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9

В выпуклом четырёхугольнике ABCD точки P и Q – середины диагоналей AC и BD соответственно. Прямая PQ пересекает стороны AB и CD в точках N и M соответственно. Докажите, что описанные окружности треугольников ANP , BNQ , CMP и DMQ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1494 1495 1496 1497 1498 1499 1500 >> [Всего задач: 7526]