ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 42]      



Задача 66715

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Десятичная запись числа ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Назовём девятизначное число красивым, если все его цифры различны. Докажите, что существует по крайней мере 1000 красивых чисел (или: не менее 2018), каждое из которых делится на 37.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66720

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Петя расставляет 500 королей на клетках доски $100\times 50$ так, чтобы они не били друг друга. А Вася — 500 королей на белых клетках (в шахматной раскраске) доски $100\times 100$ так, чтобы они не били друг друга. У кого больше способов это сделать?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66723

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Ребусы ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Требуется записать число вида 77...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 77...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66724

Тема:   [ Разрезания (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Доска $7\times7$ либо пустая, либо на ней лежит «по клеткам» невидимый корабль $2\times2$. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66725

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
[ Вписанный угол равен половине центрального ]
[ Четыре точки, лежащие на одной окружности ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность с центром $O$. Прямая $BO$ пересекает отрезок $AD$ в точке $E$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $ABE$ и $DBE$ соответственно. Докажите, что точки $O_1, O_2, O, C$ лежат на одной окружности.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 42]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .