Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 48]
|
|
Сложность: 4 Классы: 9,10,11
|
Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Назовём девятизначное число красивым, если все его цифры различны. Докажите, что существует по крайней мере 1000 красивых чисел (или: не менее 2018), каждое из которых делится на 37.
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Петя расставляет 500 королей на клетках доски $100\times 50$ так, чтобы они не били друг друга.
А Вася — 500 королей на белых клетках (в шахматной раскраске) доски $100\times 100$ так, чтобы они не били друг друга.
У кого больше способов это сделать?
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Требуется записать число вида 77...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 77...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?
|
|
Сложность: 5 Классы: 8,9,10,11
|
Доска $7\times7$ либо пустая, либо на ней лежит «по клеткам» невидимый корабль $2\times2$. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?
Страница:
<< 3 4 5 6
7 8 9 >> [Всего задач: 48]