Туры:
-
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC с центром описанной окружности O проведены высоты $AH_a$ и $BH_b$.
Точки X и Y симметричны точкам $H_a$ и $H_b$ относительно середин сторон BC и CA соответственно.
Докажите, что прямая CO делит отрезок XY пополам.
Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет.
На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник $M$, в котором больше одной клетки.
Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал «по клеткам».
Если после очередного сдвига ровно одна клетка у M лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг.
Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали M по описанным правилам.
Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно k больше 30 градусов. Каково наибольшее возможное значение k?
На прямой сидят 2019 точечных кузнечиков.
За ход какой-нибудь из кузнечиков прыгает через какого-нибудь другого так, чтобы оказаться на прежнем расстоянии от него.
Прыгая только вправо, кузнечики могут добиться того, чтобы какие-то двое из них оказались на расстоянии ровно 1 мм друг от друга.
Докажите, что кузнечики могут добиться того же, прыгая из начального положения только влево.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]
Задача 66726 |
|
|
Докажите, что
а) любое число вида 3k - 2, где k целое, есть сумма одного квадрата и двух кубов целых чисел;
б) любое целое число есть сумма одного квадрата и трёх кубов целых чисел.
|
|
Решение |
Задача 66729 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66731 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66732 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66746 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 42]
