ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      



Задача 67005

Темы:   [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
[ Центральное проектирование ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66715

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Десятичная запись числа ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Назовём девятизначное число красивым, если все его цифры различны. Докажите, что существует по крайней мере 1000 красивых чисел (или: не менее 2018), каждое из которых делится на 37.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66720

Темы:   [ Замощения костями домино и плитками ]
[ Комбинаторика (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Петя расставляет 500 королей на клетках доски $100\times 50$ так, чтобы они не били друг друга. А Вася — 500 королей на белых клетках (в шахматной раскраске) доски $100\times 100$ так, чтобы они не били друг друга. У кого больше способов это сделать?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66723

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Ребусы ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Требуется записать число вида 77...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 77...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66724

Тема:   [ Разрезания (прочее) ]
Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Доска $7\times7$ либо пустая, либо на ней лежит «по клеткам» невидимый корабль $2\times2$. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .