Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]

Задача 67005

Темы:	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Центральное проектирование	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4
Классы: 9,10,11

Авторы: Кожевников П.А., Кузнецов А.

Внутри треугольника $ABC$ на биссектрисе угла $A$ выбрана произвольная точка $J$. Лучи $BJ$ и $CJ$ пересекают стороны $AC$ и $AB$ в точках $K$ и $L$ соответственно. Касательная к описанной окружности треугольника $AKL$ в точке $A$ пересекает прямую $BC$ в точке $P$. Докажите, что $PA=PJ$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66715

Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]
Темы:	[	Десятичная запись числа	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Назовём девятизначное число красивым, если все его цифры различны. Докажите, что существует по крайней мере 1000 красивых чисел (или: не менее 2018), каждое из которых делится на 37.

Прислать комментарий Решение

Задача 66720

Темы:	[	Замощения костями домино и плитками	]
Темы:	[	Комбинаторика (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

Петя расставляет 500 королей на клетках доски $100\times 50$ так, чтобы они не били друг друга. А Вася — 500 королей на белых клетках (в шахматной раскраске) доски $100\times 100$ так, чтобы они не били друг друга. У кого больше способов это сделать?

Прислать комментарий Решение

Задача 66723

Темы:	[	Теория чисел. Делимость (прочее)	]
Темы:	[	Ребусы	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Маркелов С.В.

Требуется записать число вида 77...7, используя только семёрки (их можно писать и по одной, и по нескольку штук подряд), причём разрешены только сложение, вычитание, умножение, деление и возведение в степень, а также скобки. Для числа 77 самая короткая запись – это просто 77. А существует ли число вида 77...7, которое можно записать по этим правилам, используя меньшее количество семёрок, чем в его десятичной записи?

Прислать комментарий Решение

Задача 66724

Тема:

[

Разрезания (прочее)

]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Автор: Женодаров Р.Г.

Доска $7\times7$ либо пустая, либо на ней лежит «по клеткам» невидимый корабль $2\times2$. Разрешается расположить в некоторых клетках доски по детектору, а потом одновременно их включить. Включённый детектор сигнализирует, если его клетка занята кораблём. Какого наименьшего числа детекторов хватит, чтобы по их показаниям гарантированно определить, есть ли на доске корабль, и если да, то какие клетки он занимает?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 48]