Туры:
-
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
устный тур
(6 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC с центром описанной окружности O проведены высоты $AH_a$ и $BH_b$.
Точки X и Y симметричны точкам $H_a$ и $H_b$ относительно середин сторон BC и CA соответственно.
Докажите, что прямая CO делит отрезок XY пополам.
Изначально на белой клетчатой плоскости конечное число клеток окрашено в чёрный цвет.
На плоскости лежит бумажный клетчатый многоугольник $M$, в котором больше одной клетки.
Его можно сдвигать, не поворачивая, в любом направлении на любое расстояние, но так, чтобы после сдвига он лежал «по клеткам».
Если после очередного сдвига ровно одна клетка у M лежит на белой клетке плоскости, эту белую клетку окрашивают в чёрный цвет и делают следующий сдвиг.
Докажите, что существует такая белая клетка, которая никогда не будет окрашена в чёрный цвет, сколько бы раз мы ни сдвигали M по описанным правилам.
Три медианы треугольника разделили его углы на шесть углов, среди которых ровно k больше 30 градусов. Каково наибольшее возможное значение k?
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
Задача 66725 |
|
|
Равнобокая трапеция $ABCD$ с основаниями $AD$ и $BC$ вписана в окружность с центром $O$. Прямая $BO$ пересекает отрезок $AD$ в точке $E$. Пусть $O_1$ и $O_2$ — центры описанных окружностей треугольников $ABE$ и $DBE$ соответственно. Докажите, что точки $O_1, O_2, O, C$ лежат на одной окружности.
|
|
Решение |
Задача 66726 |
|
|
Докажите, что
а) любое число вида 3k - 2, где k целое, есть сумма одного квадрата и двух кубов целых чисел;
б) любое целое число есть сумма одного квадрата и трёх кубов целых чисел.
|
|
|
Решение |
Задача 66729 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66731 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 66732 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 4 5 6 7 8 9 10 >> [Всего задач: 48]
