ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      



Задача 66737

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Произведение натуральных чисел m и n делится на их сумму. Докажите, что $m+n \leqslant n^2$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66738

Темы:   [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]
[ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

В прямоугольник ABCD вписывают равнобедренные треугольники с заданным углом $\alpha$ при вершине, противолежащей основанию, так, что эта вершина лежит на отрезке BC, а концы основания – на отрезках AB и CD. Докажите, что середины оснований у всех таких треугольников совпадают.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66739

Тема:   [ Кооперативные алгоритмы ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Кноп К.А.

Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 12 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему выбору. Затем возвращается фокусник. Помощник открывает одну шкатулку, в которой нет монетки. Далее фокусник указывает на 4 шкатулки, и их одновременно открывают. Цель фокусника – открыть обе шкатулки с монетками. Предложите способ, как договориться фокуснику с помощником, чтобы этот фокус всегда удавался.

См. также задачу 66743.
Прислать комментарий     Решение


Задача 66740

Темы:   [ Шестиугольники ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Вспомогательные подобные треугольники ]
[ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Расстояние от некоторой точки внутри правильного шестиугольника до трёх его последовательных вершин равны 1, 1 и 2 соответственно. Чему равна сторона этого шестиугольника?
Прислать комментарий     Решение


Задача 66741

Темы:   [ Теория чисел. Делимость (прочее) ]
[ Многочлены (прочее) ]
[ НОД и НОК. Взаимная простота ]
[ Тождественные преобразования ]
Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Натуральные числа $a$ и $b$ таковы, что $a^{n+1}+b^{n+1}$ делится на $a^n+b^n$ для бесконечного множества различных натуральных $n$. Обязательно ли тогда $a=b$?
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 42]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .