Туры:
-
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
устный тур
(6 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]
Дан клетчатый квадрат $n\times n$, где $n>1$. Кроссвордом будем называть любое непустое множество его клеток, а словом – любую горизонтальную и любую вертикальную полоску (клетчатый прямоугольник шириной в одну клетку), целиком состоящую из клеток кроссворда и не содержащуюся ни в какой большей полоске из клеток кроссворда (ни горизонтальной, ни вертикальной). Пусть $x$ – количество слов в кроссворде, $y$ – наименьшее количество слов, которыми можно покрыть кроссворд. Найдите максимум отношения $x/y$ при данном $n$.
Для турнира изготовили 7 золотых, 7 серебряных и 7 бронзовых медалей. Все медали из одного металла должны весить одинаково, а из разных должны иметь различные массы. Но одна из всех медалей оказалась нестандартной – имела неправильную массу. При этом нестандартная золотая медаль может весить только меньше стандартной золотой, бронзовая – только больше стандартной бронзовой, а серебряная может отличаться по весу от стандартной серебряной в любую сторону. Можно ли за три взвешивания на чашечных весах без гирь найти нестандартную медаль?
На доске написана функция $\sin x + \cos x$. Разрешается написать на доске производную любой написанной ранее функции, а также сумму и произведение любых двух написанных ранее функций, так можно делать много раз. В какой-то момент на доске оказалась функция, равная для всех действительных $x$ некоторой константе $c$. Чему может равняться $c$?
Дан неравнобедренный треугольник $ABC$. Выберем произвольную окружность $\omega$, касающуюся описанной окружности треугольника $ABC$ внутренним образом в точке $B$ и не пересекающую прямую $AC$. Отметим на $\omega$ точки $P$ и $Q$ так, чтобы прямые $AP$ и $CQ$ касались $\omega$, а отрезки $AP$ и $CQ$ пересекались внутри треугольника $ABC$. Докажите, что все полученные таким образом прямые $PQ$ проходят через одну фиксированную точку, не зависящую от выбора окружности $\omega$.
На доске написана буква А. Разрешается в любом порядке и количестве:
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]
Задача 67076 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 67077 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67078 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67079 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67081 |
|
|
а) приписывать А слева;
б) приписывать Б справа;
в) одновременно приписывать Б слева и А справа. Например, БААБ так получить можно (A $\rightarrow$ БAA $\rightarrow$ БААБ), а АББА – нельзя. Докажите, что при любом натуральном $n$ половину слов длины $n$ получить можно, а другую половину – нельзя.
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 49]
