Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]

Задача 67446

Темы:	[	Шахматные доски и шахматные фигуры	]
Темы:	[	Примеры и контрпримеры. Конструкции	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Тертерян А.

Можно ли на бесконечной клетчатой плоскости расставить бесконечное количество шахматных коней (не более одного коня в клетку) так, чтобы каждый конь бил ровно 5 других?

Прислать комментарий Решение

Задача 67451

Темы:	[	Площадь треугольника (через высоту и основание)	]
Темы:	[	Отношение площадей подобных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Евдокимов М.А.

В треугольнике $ABC$ с прямым углом $C$ провели высоту $CH$. Окружность, проходящая через точки $C$ и $H$, повторно пересекает отрезки $AC$, $CB$ и $BH$ в точках $Q$, $P$ и $R$ соответственно. Отрезки $HP$ и $CR$ пересекаются в точке $T$. Что больше: площадь треугольника $CPT$ или сумма площадей треугольников $CQH$ и $HTR$?

Прислать комментарий

Решение

Задача 67477

Темы:	[	Основная теорема арифметики. Разложение на простые сомножители	]
Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

Натуральное число $M$ представили в виде произведения простых сомножителей. Затем каждый из них увеличили на 1, и произведение стало равно $N$. Оказалось, что $N$ делится на $M$. Докажите, что если теперь разложить $N$ на простые множители и каждый из них увеличить на 1, то полученное произведение будет делиться на $N$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67479

Темы:	[	Разрезания на части, обладающие специальными свойствами	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Инварианты	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

Набор состоит из одинаковых трёхклеточных уголков, у которых центральные клетки испачканы краской. Прямоугольную доску покрыли в один слой уголками, не выходящими за пределы доски, а затем убрали уголки. Испачканные клетки оставили на доске следы. Всегда ли по этим следам можно узнать, как именно лежали уголки?

Прислать комментарий Решение

Задача 67485

Тема:

[

Теория игр (прочее)

]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9,10

Автор: Перепечко А.Ю.

Петя и Вася по очереди проводят дороги на плоскости, начинает Петя. Дорога — это горизонтальная или вертикальная прямая, по которой можно двигаться только в одну сторону (выбранную при создании дороги). Всегда ли Вася может действовать так, чтобы после любого его хода можно было проехать по правилам от любого перекрёстка дорог до любого другого, как бы ни действовал Петя?

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]