Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 51]

Задача 67487

Темы:	[	Процессы и операции	]
	[	Принцип Дирихле (прочее)	]
	[	Деление с остатком	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Глебов А.

У 10 детей есть несколько мешков с конфетами. Дети начинают делить конфеты между собой. Каждый по очереди забирает из каждого мешка свою долю и уходит. Доля вычисляется так: делим текущее число конфет в каждом мешке на число оставшихся детей (включая себя), если нацело не поделилось — округляем до целого в меньшую сторону. Может ли всем достаться разное количество конфет,
а) если мешков всего 8;
б) если мешков всего 9?

Прислать комментарий Решение

Задача 67488

Темы:	[	Покрытия	]
Темы:	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Бакаев Е.В.

На каждой стороне выпуклого многоугольника построили треугольник, третья вершина которого — пересечение биссектрис двух углов многоугольника, примыкающих к этой стороне. Докажите, что вместе эти треугольники покрывают весь многоугольник.

Прислать комментарий Решение

Задача 67506

Темы:	[	Делимость чисел. Общие свойства	]
	[	НОД и НОК. Взаимная простота	]
	[	Целочисленные и целозначные многочлены	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Дан многочлен с целыми коэффициентами, имеющий хотя бы один целый корень. Наибольший общий делитель всех его целых корней равен $1$. Докажите, что если старший коэффициент многочлена равен $1$, то наибольший общий делитель остальных коэффициентов тоже равен $1$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67486

Темы:	[	Биссектриса делит дугу пополам	]
Темы:	[	Вспомогательные равные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Ивлев Ф.

В остроугольном треугольнике $ABC$ отмечены точки $I$ и $O$ — центры вписанной и описанной окружностей соответственно. Прямые $AI$ и $CI$ вторично пересекают описанную окружность треугольника $ABC$ в точках $N$ и $M$. Отрезки $MN$ и $BO$ пересекаются в точке $X$. Докажите, что прямые $XI$ и $AC$ перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67461

Темы:	[	Параллельность прямых и плоскостей	]
	[	Объем тетраэдра и пирамиды	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Евдокимов М.А.

Даны две треугольные пирамиды с общим основанием $ABC$. Их вершины $S$ и $R$ лежат по разные стороны от плоскости $ABC$. Все боковые рёбра одной пирамиды параллельны соответствующим боковым граням другой. Докажите, что объём одной пирамиды вдвое больше объёма другой.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 2 3 4 5 6 7 8 >> [Всего задач: 51]