Туры:
-
осенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
осенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
осенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
осенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
весенний тур, базовый вариант, 8-9 класс
(5 задач)
весенний тур, базовый вариант, 10-11 класс
(5 задач)
весенний тур, сложный вариант, 8-9 класс
(7 задач)
весенний тур, сложный вариант, 10-11 класс
(7 задач)
устный тур
(6 задач)
Фильтр
Задачи
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]
Даны $2N$ действительных чисел. Известно, что как ни разбей их на две группы по $N$ чисел, произведение чисел первой группы отличается от произведения
чисел второй группы не более чем на $2$. Верно ли, что как ни расставь эти числа по кругу, найдутся два соседних числа, различающихся не более чем на $2$, если
а) $N=50$;
б) $N=25$?
Имеется 15 неразличимых на вид монет. Известно, что одна из них весит $1$ г, две — по $2$ г, три — по $3$ г, четыре — по $4$ г, пять — по $5$ г. На монетах есть соответствующие надписи с указанием масс. Как за два взвешивания на чашечных весах без гирь проверить, все ли надписи сделаны верно?
(Не требуется определять, какие именно надписи верны, а какие нет.)
Равносторонний треугольник разрезан на белые и чёрные треугольники. Известно, что все белые треугольники — прямоугольные и равны друг другу, а все чёрные — равнобедренные и тоже равны друг другу. Обязательно ли кратны $30^\circ$ все углы
а) у белых треугольников;
б) у чёрных треугольников?
Барон Мюнхгаузен утверждает, что существуют многочлен $f(x)$ с целыми коэффициентами и натуральные числа
$m$ и $n$ со свойством:
$f(m)$ не делится на $n$, но $f(p^k)$ делится на $n$ для любого простого $p$ и любого натурального $k$.
Не ошибается ли барон?
Пусть $A$ — набор из $n>1$ различных натуральных чисел. Для каждой пары чисел $a,b\in A$, где $a < b$, подсчитаем, сколько чисел в $A$ являются делителями числа $b-a$.
Какое наибольшее значение может принимать сумма полученных $\frac{n(n-1)}2$ чисел?
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]
Задача 67509 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67510 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67511 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67515 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 67519 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]
