Каталог по источникам

Задачи

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]

Задача 67522

Темы:	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]
	[	Инверсия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Заславский А.А.

Дан треугольник $ABC$. Пусть $CL$ — его биссектриса, $W$ — середина дуги $BCA$, а $P$ — проекция ортоцентра на медиану, проведённую из вершины $C$. Окружность $CPW$ пересекает прямую, проходящую через $C$ и параллельную $AB$, в точке $Q$. Докажите, что $LC=LQ$.

Прислать комментарий Решение

Задача 67490

Темы:	[	Рекуррентные соотношения (прочее)	]
	[	Линейные неравенства и системы неравенств	]
	[	Последовательности (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 8,9,10,11

Автор: Френкин Б.Р.

Даны две строго возрастающие последовательности положительных чисел, в которых каждый член, начиная с третьего, равен сумме двух предыдущих. Известно, что каждая последовательность содержит хотя бы одно число, которого нет в другой последовательности. Какое наибольшее количество общих чисел может быть у этих последовательностей?
Замечание к условию. Предполагается, что обе последовательности бесконечны, иначе совпадений, очевидно, может быть сколько угодно (можно взять первые $n$ членов последовательности Фибоначчи 1, 2, 3, 5, 8, 13, ... как первую последовательность, и члены со второго по $(n+1)$-й — как вторую).

Прислать комментарий Решение

Задача 67495

Темы:	[	Касающиеся окружности	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Дана окружность $\omega_1$, а внутри неё — окружность $\omega_2$. Выбирают произвольную окружность $\omega_3$, которая касается двух предыдущих, причём оба касания внутренние. Точки касания соединяют отрезком, а через точку пересечения этого отрезка с окружностью $\omega_2$ проводят касательную к $\omega_2$ и получают хорду окружности $\omega_3$. Докажите, что концы всех таких хорд (полученных при всевозможных выборах окружности $\omega_3$) лежат на фиксированной окружности.

Прислать комментарий

Решение

Задача 67516

Темы:	[	Геометрия на клетчатой бумаге	]
	[	Теория игр (прочее)	]
	[	Раскраски	]
	[	Оценка + пример	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Грибалко А.В.

Петя красит каждую клетку доски $2m\times 2n$ в чёрный или белый цвет так, чтобы клетки каждого цвета образовывали многоугольник. Затем Вася разрезает доску на доминошки (прямоугольники из двух клеток). Петя стремится к тому, чтобы в итоге получилось как можно больше двухцветных доминошек, а Вася — к тому, чтобы их получилось как можно меньше. Наличие какого наибольшего числа двухцветных доминошек может гарантировать Петя, как бы ни действовал Вася?
(Напомним, что граница многоугольника — замкнутая ломаная без самопересечений.)

Прислать комментарий Решение

Задача 67518

Темы:	[	Уравнения в целых числах	]
	[	Разбиения на пары и группы; биекции	]
	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 5
Классы: 8,9,10,11

Авторы: Френкин Б.Р., Кожевников П.А.

Дано натуральное число $n$. Натуральное число $m$ назовём удачным, если найдутся $m$ последовательных натуральных чисел, сумма которых равна сумме $n$ следующих за ними натуральных чисел. Докажите, что количество удачных чисел нечётно.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 5 6 7 8 9 10 11 >> [Всего задач: 52]