Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 67491

Темы:   [ Десятичная система счисления ] [ Процессы и операции ] [ Теория игр (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Петя записал на доске натуральное число. Каждую минуту Вася умножает последнее записанное на доску число на 2 или на 3 и записывает результат на доске. Может ли Петя выбрать начальное число так, чтобы в любой момент среди всех записанных на доске чисел количество начинающихся на 1 или 2 было больше, чем количество начинающихся на 7, 8 или 9, как бы ни действовал Вася?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67500

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные равные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На стороне $CD$ прямоугольника $ABCD$ взята точка $K$. Из вершины $B$ опустили перпендикуляр $BH$ на отрезок $AK$. Оказалось, что отрезки $AK$ и $BH$ делят прямоугольник на три части, в каждую из которых можно вписать круг (см. рисунок). Докажите, что если круги, касающиеся стороны $CD$, равны, то и третий круг им равен.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67513

Темы:   [ Целая и дробная части. Принцип Архимеда ] [ Алгебра и арифметика (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

Существует ли такое положительное число $x > 1$, что $$\{x\} > \{x^2\} > \{x^3\} > \ldots > \{x^{100}\}?$$ (Здесь $\{x\}$ — дробная часть числа $x$, то есть разность между $x$ и ближайшим целым числом, не превосходящим $x$.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67517

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Оценка + пример ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

На плоскости расположены круг и правильный 100-угольник, имеющие одинаковые площади. Какое наибольшее количество вершин 100-угольника может находиться внутри круга (не на границе)?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67482

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Правильный (равносторонний) треугольник ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10,11

В равностороннем треугольнике $ABC$ проведены отрезки $ED$ и $GF$, так что образовались два равносторонних треугольника $ADE$ и $GFC$ со сторонами 1 и 100 (точки $E$ и $G$ лежат на стороне $AC$). Отрезки $EF$ и $DG$ пересекаются в точке $O$, причём угол $EOG$ равен $120^\circ$. Чему равна сторона треугольника $ABC$?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 51]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями