Каталог по темам

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]

Задача 58392

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 3
Классы: 9,10

а) Докажите, что все окружности и прямые задаются уравнениями вида

Az $\displaystyle \bar{z}$ + cz + $\displaystyle \bar{c}$ $\displaystyle \bar{z}$ + D = 0,

где A и D — вещественные числа, а c — комплексное число. Наоборот, докажите, что любое уравнение такого вида задает либо окружность, либо прямую, либо точку, либо пустое множество.
б) Докажите, что при инверсии окружности и прямые переходят в окружности и прямые.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116408

Темы:	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
Темы:	[	Построения одним циркулем	]

Сложность: 3
Классы: 8,9

Авторы: Фельдман Г., Баранов Д.В.

Нарисован угол, и ещё имеется только циркуль.
а) Какое наименьшее число окружностей надо провести, чтобы наверняка определить, является ли данный угол острым?
б) Как определить, равен ли данный угол 31° (разрешается проводить сколько угодно окружностей)?

Прислать комментарий

Решение

Задача 64969

Темы:	[	Связь величины угла с длиной дуги и хорды	]
	[	Шестиугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Принцип Дирихле (углы и длины)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Шаповалов А.В.

В окружности радиуса 1 проведено несколько хорд, суммарная длина которых тоже равна 1.
Докажите, что в окружность можно вписать правильный шестиугольник, стороны которого не пересекают этих хорд.

Прислать комментарий

Решение

Задача 56578

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Вершины A и B правильного треугольника ABC лежат на окружности S, а вершина C — внутри этой окружности. Точка D лежит на окружности S, причем BD = AB. Прямая CD пересекает S в точке E. Докажите, что длина отрезка EC равна радиусу окружности S.

Прислать комментарий Решение

Задача 58393

Тема:

[

Связь величины угла с длиной дуги и хорды

]

Сложность: 4
Классы: 9,10

а) Пусть $\varepsilon$ = ${\frac{1}{2}}$ + ${\frac{i\sqrt{3}}{2}}$ . Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a + $\varepsilon^{2}_{}$ b + $\varepsilon^{4}_{}$ c = 0 или a + $\varepsilon^{4}_{}$ b + $\varepsilon^{2}_{}$ c = 0.
б) Докажите, что точки a, b, c являются вершинами правильного треугольника тогда и только тогда, когда a² + b² + c² = ab + bc + ac.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 49]