Каталог по темам

Задачи

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 829]

Задача 116561

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Биссектриса угла (ГМТ)	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10

Автор: Емельянов Л.А.

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC точки C₀ и B₀ – середины сторон AB и AC соответственно, O – центр описанной окружности, H – точка пересечения высот. Прямые BH и OC₀ пересекаются в точке P, а прямые CH и OB₀ – в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник OPHQ – ромб. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66383

Темы:	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Осевая и скользящая симметрии (прочее)	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]

Сложность: 3+
Классы: 7,8,9

Автор: Евдокимов М.А.

Два квадрата и равнобедренный треугольник расположены так, как показано на рисунке (вершина K большого квадрата лежит на стороне треугольника). Докажите, что точки A, B и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66653

Темы:	[	Биссектриса угла	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10

Автор: Дидин М.

Пусть $D$ – основание внешней биссектрисы угла $B$ треугольника $ABC$, в котором $AB > BC$. Сторона $AC$ касается вписанной и вневписанной окружностей в точках $K$ и $K_1$ соответственно, точки $I$ и $I_1$ – центры этих окружностей. Прямая $BK$ пересекает $DI_1$ в точке $X$, а $BK_1$ пересекает $DI$ в точке $Y$. Докажите, что $XY \perp AC$.

Прислать комментарий Решение

Задача 66787

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 3+
Классы: 9,10,11

Автор: Уткин А.

В треугольнике $ABC$ $AL_a$, $BL_b$, $CL_c$ – биссектрисы, $K_a$ – точка пересечения касательных к описанной окружности в вершинах $B$ и $C$; $K_b$, $K_c$ определены аналогично. Докажите, что прямые $K_aL_a$, $K_bL_b$ и $K_cL_c$ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий Решение

Задача 66922

Темы:	[	Ломаные	]
Темы:	[	Четность и нечетность	]

Сложность: 3+
Классы: 8,9,10,11

Автор: Иванищук А.В.

Дана замкнутая ломаная $A_1A_2\dots A_n$ и окружность $\omega$, которая касается каждой из прямых $A_1A_2, A_2A_3,\dots, A_nA_1$. Звено ломаной называется хорошим, если оно касается окружности, и плохим в противном случае (т.е. если продолжение этого звена касается окружности). Докажите, что плохих звеньев четное количество.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 26 27 28 29 30 31 32 >> [Всего задач: 829]