Каталог по темам

Задачи

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 829]

Задача 66234

Темы:	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Швецов Д.В.

Высоты AA₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке H. H_A – точка симметричная H относительно A. H_AC₁ пересекает прямую BC в точке C'; аналогично определяется точка A'. Докажите, что A'C' || AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66754

Темы:	[	Биссектриса угла	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,11

Авторы: Бакаев Е.В., Кожевников П.А., Богданов И.И., Расторгуев В.

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

Прислать комментарий

Решение

Задача 73642

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Выпуклые многоугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

а) Дан выпуклый многоугольник A₁A₂...A_n. На стороне A₁A₂ взяты точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, ..., на стороне A_nA₁ – точки B_n и D₁ так, что если построить параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂, ..., A_nB_nC_nD_n, то прямые A₁C₁, A₂C₂, ..., A_nC_n пересекутся в одной точке. Докажите равенство A₁B₁·A₂B₂·...·A_nB_n = A₁D₁·A₂D₂·...·A_nD_n.

б) Докажите, что для треугольника верно и обратное утверждение: если на стороне A₁A₂ выбраны точки B₁ и D₂, на стороне A₂A₃ – точки B₂ и D₃, а на стороне A₃A₁ – точки B₃ и D₁ так, что A₁B₁·A₂B₂·A₃B₃ = A₁D₁·A₂D₂· A₃D₃, то, построив параллелограммы A₁B₁C₁D₁, A₂B₂C₂D₂ и A₃B₃C₃D₃, получим прямые A₁C₁, A₂C₂ и A₃C₃, пересекающиеся в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 87082

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Сфера, касающаяся ребер тетраэдра	]
	[	Центр масс	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Произволов В.В.

Сфера касается всех рёбер тетраэдра. Соединим точки касания на парах несмежных рёбер.
Докажите, что три полученные прямые пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 102505

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вспомогательная окружность	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Экстремальные свойства треугольника (прочее)	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Середины высот треугольника ABC лежат на одной прямой. Наибольшая сторона треугольника AB = 10 см.
Какое максимальное значение может принимать площадь треугольника ABC?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 29 30 31 32 33 34 35 >> [Всего задач: 829]