Версия для печати
Убрать все задачи
Теорема синусов и первая теорема косинусов
для трехгранного угла.
Пусть имеется
трехгранный угол с плоскими углами
,
,
и
противолежащими им двугранными углами
A,
B,
C. Для него
справедлива теорема синусов (
8.7
) и две теоремы
косинусов (
8.6
), (
8.8) (смотрите ниже). После того,
как одна из этих теорем доказана, другие могут быть получены
путем алгебраических преобразований. Отвлечемся от геометрической
природы задачи и предположим, что просто даны равенства
cos = cos cos + sinsincos A, |
| cos = coscos + sinsincos B, |
| cos = coscos + sinsincos C, |
|
(8.6) |
и, кроме того, величины
,
,
и
A,
B,
C заключены между 0 и
. Докажите, что
Решение
На плоскости даны треугольник ABC и 10 прямых, среди которых нет параллельных друг другу. Оказалось, что каждая из прямых равноудалена от каких-то двух вершин треугольника ABC. Докажите, что хотя бы три из этих прямых пересекаются в одной точке.
Решение
В прямоугольном треугольнике ABC из вершины прямого угла C опущена высота CH. В треугольники ACH и BCH вписали окружности; O1 и O2 – их центры; P1 и P2 – их точки касания с AC и BC. Докажите, что прямые O1P1 и O2P2 пересекаются на AB.
Решение
Найдите все простые числа, которые отличаются на 17.
Решение
Незнайка взял у Пилюлькина книжку и сосчитал, сколько понадобилось цифр, чтобы пронумеровать все страницы, начиная с первой. У него получилось 100 цифр. Могло ли так быть, или Незнайка ошибся? Если могло, скажите, сколько было страниц.
Решение
Фильтр
