На плоскости даны n>1 точек. Двое по очереди соединяют еще не соединенную пару точек вектором одного из двух возможных направлений. Если после очередного хода какого-то игрока сумма всех нарисованных векторов нулевая, то выигрывает второй; если же очередной ход невозможен, а нулевой суммы не было, то выигрывает первый. Кто выигрывает при правильной игре?

   Решение

Четырёхугольник ABCD вписан в окружность с диаметром AC. Точки K и M – проекции вершин A и C соответственно на прямую BD. Через точку K проведена прямая, параллельная BC и пересекающая AC в точке P. Докажите, что угол KPM – прямой.

   Решение

На сторонах AB и BC остроугольного треугольника ABC внешним образом построены квадраты ABC₁D₁ и A₂BCD₂.
Докажите, что точка пересечения прямых AD₂ и CD₁ лежит на высоте BH.

   Решение

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 >> [Всего задач: 1007]      

Четырехугольник $ABCD$ без равных и без параллельных сторон описан около окружности с центром $I$. Точки $K$, $L$, $M$ и $N$ – середины сторон $AB$, $BC$, $CD$ и $DA$. Известно, что $AB\cdot CD=4IK\cdot IM$. Докажите, что $BC\cdot AD=4IL\cdot IN$.

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность с диаметром KL. Вторая окружность с центром в точке К пересекает первую окружность в точках M и N, а диаметр KL — в точке А. На дуге AN, не содержащей точки М, взята точка B, отличная от точек A и N. Луч LB пересекает первую окружность в точке C. Известно, что CN = a, CM = b. Найдите BC.

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность с диаметром BC. Вторая окружность с центром в точке C пересекает первую окружность в точках D и E, а диаметр BC — в точке F, FK — диаметр второй окружности. На дуге EK, не содержащей точки D, взята точка L, отличная от точек E и K. Отрезок BL пересекает первую окружность в точке M. Известно, что ML = m, EM = n. Найдите DM.

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность с диаметром QR. Вторая окружность с центром в точке Q пересекает первую окружность в точках P и S, а диаметр QR — в точке B. На дуге BS, не содержащей точки P, взята точка C, отличная от точек B и S. Луч RC пересекает первую окружность в точке D. Известно, что DS = a, DP = b. Найдите DC.

Прислать комментарий

Решение

Дана окружность с диаметром LM. Вторая окружность с центром в точке M пересекает первую окружность в точках N и Q, а диаметр LM — в точке B. BC — диаметр второй окружности. На дуге NC, не содержащей точки Q, взята точка D, отличная от точек N и C. Отрезок LD пересекает первую окружность в точке E. Известно, что EN = n, ED = m. Найдите QE.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 133 134 135 136 137 138 139 >> [Всего задач: 1007]