Фильтр
Выбрано 7 задач Убрать все задачи
В Швамбрании N городов, каждые два соединены дорогой. При этом дороги
сходятся лишь в городах (нет перекрёстков, одна дорога поднята эстакадой над
другой). Злой волшебник устанавливает на всех дорогах одностороннее движение
таким образом, что если из города можно выехать, то в него нельзя вернуться.
Доказать, что
а) волшебник может это сделать;
б) найдётся город, из которого можно добраться до всех, и
найдётся город, из которого нельзя выехать;
в) существует единственный путь, обходящий все города;
г) волшебник может осуществить своё намерение N! способами.
РешениеДан куб с ребром 1. Докажите, что сумма расстояний от произвольной точки до его вершин не меньше 4
РешениеРешить в целых числах уравнение 2n + 7 = x².
РешениеНабор чисел a0, a1, ..., an удовлетворяет условиям: a0 = 0, 0 ≤ ak+1 – ak ≤ 1 при k = 0, 1, ..., n – 1. Докажите неравенство
РешениеЦелые ненулевые числа a1, a2, ..., an таковы, что равенство
a) Докажите, что число n чётно.
б) При каком наименьшем n такие числа существуют?
РешениеДокажите, что если все грани тетраэдра равны между собой, то противоположные рёбра тетраэдра попарно равны.
Решениеа) Укажите два прямоугольных треугольника, из которых можно сложить треугольник, длины сторон и площадь которого — целые числа.
б) Докажите, что если площадь треугольника — целое число, а длины сторон — последовательные натуральные числа, то этот треугольник можно сложить из двух прямоугольных треугольников с целочисленными сторонами.
Решение
Задачи
Задача 35143 |
|
Докажите, что не существует многочлена (степени больше нуля) с целыми коэффициентами, принимающего при каждом натуральном значении аргумента значение, равное некоторому простому числу.
|
|
Решение |
Задача 105117 |
|
|
Докажите, что не существует многочлена степени не ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами, значение которого при любом простом p является простым числом.
|
|
|
Решение |
Задача 110100 |
|
|
Приведённый квадратный трёхчлен с целыми коэффициентами в трёх последовательных
целых точках принимает простые значения.
Докажите, что он принимает простое значение по крайней мере еще в одной целой точке.
|
|
|
Решение |
Задача 110175 |
|
|
Докажите, что для любого многочлена P с целыми коэффициентами и любого натурального k существует такое натуральное n, что P(1) + P(2) + ... + P(n) делится на k.
|
|
|
Решение |
Задача 61451 |
|
|
Докажите, что если многочлен f(x) степени n принимает целые значения в точках x = 0, 1, ..., n, то он принимает целые значения во всех целых точках.
|
|
|
Решение |
Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 81]
