На плоскости дано 100 окружностей, составляющих связную (то есть не распадающуюся на части) фигуру.
Докажите, что эту фигуру можно нарисовать, не отрывая карандаша от бумаги и не проводя дважды одну и ту же линию.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 259]      

Есть полусферическая ваза, закрытая плоской крышкой. В вазе лежат четыре одинаковых апельсина, касаясь вазы, и один грейпфрут, касающийся всех четырёх апельсинов. Верно ли, что все четыре точки касания грейпфрута с апельсинами обязательно лежат в одной плоскости? (Все фрукты являются шарами.)

Прислать комментарий

Решение

В пространстве расположены 2016 сфер, никакие две из них не совпадают. Некоторые из сфер – красного цвета, а остальные – зелёного. Каждую точку касания красной и зелёной сферы покрасили в синий цвет. Найдите наибольшее возможное количество синих точек.

Прислать комментарий

Решение

На одной из двух данных пересекающихся сфер взяты точки A и B, на другой – C и D. Отрезок AC проходит через общую точку сфер. Отрезок BD проходит через другую общую точку сфер и параллелен прямой, содержащей центры сфер. Докажите, что проекции отрезков AB и CD на прямую AC равны.

Прислать комментарий

Решение

Сферы с центрами в точках O1 и O2 радиусов 3 и 1 соответственно касаются друг друга. Через точку M , удалённую от O2 на расстояние 3 , проведены две прямые, каждая из которых касается обеих сфер, причём точки касания лежат на прямых по одну сторону от точки M . Найдите угол между касательными, если известно, что одна из них образует с прямой O1O2 угол 45^o .

Прислать комментарий

Решение

Шар радиуса r касается всех боковых граней треугольной пирамиды в серединах сторон её основания. Отрезок, соединяющий вершину пирамиды с центром шара, делится пополам точкой пересечения с основанием пирамиды. Найдите объём пирамиды.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 259]