Каталог по темам

Задачи

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 222]

Задача 105068

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Индукция в геометрии	]
	[	Целочисленные решетки (прочее)	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Авторы: Буфетов А.И., Канель-Белов А.Я.

На лугу, имеющем форму квадрата, имеется круглая лунка. По лугу прыгает кузнечик. Перед каждым прыжком он выбирает вершину и прыгает по направлению к ней. Длина прыжка равна половине расстояния до этой вершины.
Сможет ли кузнечик попасть в лунку?

Прислать комментарий Решение

Задача 108221

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Гомотетичные окружности	]
	[	Касающиеся окружности	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянова Т.

В параллелограмме ABCD на диагонали AC отмечена точка K . Окружность s1 проходит через точку K и касается прямых AB и AD , причём вторая точка пересечения s1 с диагональю AC лежит на отрезке AK . Окружность s2 проходит через точку K и касается прямых CB и CD , причём вторая точка пересечения s2 с диагональю AC лежит на отрезке KC . Докажите, что при всех положениях точки K на диагонали AC прямые, соединяющие центры окружностей s1 и s2 , будут параллельны между собой.

Прислать комментарий Решение

Задача 108149

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Описанные четырехугольники	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Средняя линия трапеции	]

Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Автор: Кожевников П.А.

Четырёхугольник ABCD описан около окружности ω. Продолжения сторон AB и CD пересекаются в точке O. Окружность ω₁ касается стороны BC в точке K и продолжений сторон AB и CD; окружность ω₂ касается стороны AD в точке L и продолжений сторон AB и CD. Известно, что точки O, K и L лежат на одной прямой. Докажите, что середины сторон BC, AD и центр окружности ω лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108142

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Теорема синусов	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянова Т.

Даны две окружности, касающиеся внутренним образом в точке N . Касательная к внутренней окружности, проведённая в точке K , пересекает внешнюю окружность в точках A и B . Пусть M – середина дуги AB , не содержащей точку N . Докажите, что радиус окружности, описанной около треугольника BMK , не зависит от выбора точки K на внутренней окружности.

Прислать комментарий Решение

Задача 108196

Темы:	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Признаки и свойства касательной	]
	[	Вписанный угол, опирающийся на диаметр	]
	[	Две касательные, проведенные из одной точки	]

Сложность: 5
Классы: 9,10,11

Автор: Купцов Л.

Даны полуокружность с диаметром AB и центром O и прямая, пересекающая полуокружность в точках C и D, а прямую AB – в точке M (MB < MA,
MD < MC). Пусть K – отличная от O точка пересечения описанных окружностей треугольников AOC и DOB. Докажите, что угол MKO – прямой.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 6 7 8 9 10 11 12 >> [Всего задач: 222]