Каталог по темам

Задачи

Страница: << 94 95 96 97 98 99 100 >> [Всего задач: 829]

Задача 108171

Темы:	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанные четырехугольники	]
	[	Три окружности пересекаются в одной точке	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9

Центр O описанной окружности четырёхугольника ABCD не лежит на диагоналях этого четырёхугольника. Прямые AB и CD пересекаются в точке E, а прямые AD и BC – в точке F.
а) Докажите все шесть описанных окружностей треугольников ABF, CDF, BEC, ADE, BOD и AOC пересекаются в некоторой точке K.
б) Верно ли, что точка K лежит на прямой EF, а прямые EF и OK перпендикулярны?

Прислать комментарий

Решение

Задача 108191

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Точка Лемуана	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Скопенков А.Б.

В остроугольном треугольнике ABC на высоте BK как на диаметре построена окружность S, пересекающая стороны AB и BC в точках E и F соответственно. К окружности S в точках E и F проведены касательные. Докажите, что их точка пересечения лежит на прямой, содержащей медиану треугольника ABC, проведённую из вершины B.

Прислать комментарий

Решение

Задача 110753

Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

Автор: Протасов В.Ю.

Точки A', B', C' – основания высот остроугольного треугольника ABC. Окружность с центром B и радиусом BB' пересекает прямую A'C' в точках K и L (точки K и A лежат по одну сторону от BB'). Докажите, что точка пересечения прямых AK и CL лежит на прямой BO, где O – центр описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116502

Темы:	[	Признаки подобия	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4+
Классы: 8,9,10

На стороне AC треугольника ABC отмечена точка K, причём AK = 2KC и ∠ABK = 2∠KBC. F – середина стороны AC, L – проекция точки A на BK. Докажите, что прямые FL и BC перпендикулярны.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66808

Темы:	[	Радикальная ось	]
Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]

Сложность: 4+
Классы: 9,10,11

Автор: Юдин Ф.

Вписанная окружность $\omega$ треугольника $ABC$ касается его сторон $AC$ и $AB$ в точках $E$ и $F$ соответственно. Точки $X,Y$ на $\omega$ таковы, что $\angle BXC=\angle BYC=90^\circ$. Докажите, что прямые $EF$ и $XY$ пересекаются на средней линии треугольника $ABC$.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 94 95 96 97 98 99 100 >> [Всего задач: 829]