Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрано 16 задач
Версия для печати
Убрать все задачи

Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 4, угол между боковыми рёбрами пирамиды равен arccos . Точки A1 и C1 – середины рёбер AD и CD соответственно, CB1 – высота в треугольнике BCD . Найдите: 1) угол между прямыми AC и B1C1 ; 2) площадь треугольника A1B1C1 ; 3) расстояние от точки A до плоскости A1B1C1 ; 4) радиус вписанного в пирамиду A1B1C1D шара.

Вниз   Решение


Окружность касается сторон угла ABC в точках A и C. Прямая BN пересекает эту окружность в точках M и N, а отрезок AC – в точке K,  BM : MN = 3 : 5.
Найдите  MK : KN.

ВверхВниз   Решение


Около окружности радиуса 3 описана равнобедренная трапеция ABCD  (BC || AD),  площадь которой равна 48. Окружность касается сторон AB и CD в точках K и L. Найдите KL.

ВверхВниз   Решение


В клетки квадрата 100×100 расставили числа 1, 2, ..., 10000, каждое – по одному разу; при этом числа, различающиеся на 1, записаны в соседних по стороне клетках. После этого посчитали расстояния между центрами каждых двух клеток, числа в которых различаются ровно на 5000. Пусть S – минимальное из этих расстояний. Какое наибольшее значение может принимать S?

ВверхВниз   Решение


При повороте треугольника EFG на угол  arccos ⅓  вокруг точки O, лежащей на стороне EG, вершина F переходит в вершину E, а вершина G – в точку H, лежащую на стороне FG. Найдите отношение, в котором точка O делит сторону EG.

ВверхВниз   Решение


В клетках таблицы 2000×2000 записаны числа 1 и –1. Известно, что сумма всех чисел в таблице неотрицательна. Докажите, что найдутся 1000 строк и 1000 столбцов таблицы, для которых сумма чисел, записанных в клетках, находящихся на их пересечении, не меньше 1000.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC даны длины сторон AB = 4, BC = 6 и биссектриса BD = 3$ \sqrt{2}$. Найдите длину медианы CE.

ВверхВниз   Решение


В треугольнике ABC  AA1 и BB1 – высоты. На стороне AB выбраны точки M и K так, что  B1K || BC  и  MA1 || AC.  Докажите, что  ∠AA1K = ∠BB1M.

ВверхВниз   Решение


Сторона основания ABC правильной треугольной пирамиды ABCD равна 6, угол между боковым ребром и плоскостью основания пирамиды равен arccos . Точки B1 и C1 – середины рёбер BD и CD соответственно, CA1 – высота в треугольнике ACD . Найдите: 1) угол между прямыми BC и A1C1 ; 2) площадь треугольника A1B1C1 ; 3) расстояние от точки C до плоскости A1B1C1 ; 4) радиус вписанного в пирамиду A1B1C1D шара.

ВверхВниз   Решение


В основании четырёхугольной пирамиды SABCD лежит ромб ABCD с острым углом при вершине A . Высота ромба равна 4, точка пересечения его диагоналей является ортогональной проекцией вершины S на плоскость основания. Сфера радиуса 2 касается плоскостей всех граней пирамиды. Найдите объём пирамиды, если расстояние от центра сферы до прямой AC равно AB .

ВверхВниз   Решение


Высота конуса с вершиной O равна 4, образующая конуса равна 5. Пирамида ABCD вписана в конус так, что точки A и C принадлежат окружности основания, точки B и D принадлежат боковой поверхности, причём точка B принадлежит образующей OA . Треугольники OAC и OBD – равносторонние, причём OB=3 . Найдите объём пирамиды, двугранный угол при ребре AB и радиус сферы, описанной около пирамиды ABCD .

ВверхВниз   Решение


На столе лежат  N > 2  кучек по одному ореху в каждой. Двое ходят по очереди. За ход нужно выбрать две кучки, где числа орехов взаимно просты, и объединить эти кучки в одну. Выиграет тот, кто сделает последний ход. Для каждого N выясните, кто из играющих может всегда выигрывать, как бы ни играл его противник.

ВверхВниз   Решение


На одной стороне угла O взяты точки K, L, M, а на другой – точки P, Q, R так, что  KQPR,  PLKM,  LRPQ,  QMKL.  Отношение расстояния от центра описанной вокруг четырёхугольника KPRM окружности до точки O к длине отрезка KP равно 17/6. Найдите величину угла O.

ВверхВниз   Решение


Точка F лежит на продолжении стороны BC параллелограмма ABCD за точку C. Отрезок AF пересекает диагональ BD в точке E, а сторону CD – в точке G. Известно, что  AE = 2  и  GF = 3.  Найдите отношение площадей треугольников BAE и EDG.

ВверхВниз   Решение


Две окружности проходят через вершину угла и точку его биссектрисы. Докажите, что отрезки, высекаемые ими на сторонах угла, равны.

ВверхВниз   Решение


Через точку пересечения медиан треугольника ABC проходит прямая, пересекающая стороны AB и AC. Расстояния от вершин B и C до этой прямой равны b и c соответственно. Найдите расстояние от вершины A до этой прямой.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 5298]      



Задача 108250

Темы:   [ Углы между биссектрисами ]
[ Вписанные четырехугольники (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Известно, что точка, симметричная центру вписанной окружности треугольника ABC относительно стороны BC , лежит на описанной окружности этого треугольника. Найдите угол A .
Прислать комментарий     Решение


Задача 108586

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Проекция на прямую (прочее) ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Через точку пересечения медиан треугольника ABC проходит прямая, пересекающая стороны AB и AC. Расстояния от вершин B и C до этой прямой равны b и c соответственно. Найдите расстояние от вершины A до этой прямой.

Прислать комментарий     Решение

Задача 108587

Темы:   [ Теорема косинусов ]
[ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Основания трапеции равны 3 см и 5 см. Одна из диагоналей трапеции равна 8 см, угол между диагоналями равен 60o . Найдите периметр трапеции.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108617

Темы:   [ Средняя линия треугольника ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Точки P , Q , R и S – середины сторон соответственно AB , BC , CD и DA выпуклого четырёхугольника ABCD , M – точка внутри этого четырёхугольника, причём APMS – параллелограмм. Докажите, что CRMQ – тоже параллелограмм.
Прислать комментарий     Решение


Задача 108619

Темы:   [ Вспомогательные равные треугольники ]
[ Признаки и свойства параллелограмма ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Точка D взята на медиане BM треугольника ABC. Через точку D проведена прямая, параллельная стороне AB, а через точку C – прямая, параллельная медиане BM. Две проведённые прямые пересекаются в точке E. Докажите, что  BE = AD.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 56 57 58 59 60 61 62 >> [Всего задач: 5298]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .