ЗАДАЧИ
problems.ru |
О проекте
|
Об авторах
|
Справочник
Каталог по темам | по источникам | |
|
Подтемы:
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Версия для печати
Убрать все задачи a и b – две данные стороны треугольника. D – точка на стороне BC треугольника ABC. B треугольники ABD, ACD вписаны окружности, и к ним проведена общая внешняя касательная (отличная от BC), пересекающая AD в точке K. Докажите, что длина отрезка AK не зависит от положения точки D на BC. Доказать, что существует бесконечно много таких составных n, что 3n–1 – 2n–1 кратно n. Грани выпуклого многогранника – подобные треугольники. Окружность радиуса 2 проходит через середины трёх сторон треугольника ABC, в котором углы при вершинах A и B равны 30° и 45° соответственно. При каких натуральных n найдутся такие положительные рациональные, но не целые числа a и b, что оба числа a + b и an + bn – целые? Существуют ли такие 2013 различных натуральных чисел, что сумма каждых 2012 из них не меньше квадрата оставшегося? В шестиугольнике ABCDEF AB = BC, CD = DE, EF = FA и ∠A = ∠C = ∠E. Пятизначное число называется неразложимым, если оно не раскладывается в произведение двух трёхзначных чисел. В остроугольном треугольнике ABC проведены высоты AHA,
BHB и CHC. Постройте параллелограмм ABCD, если на плоскости отмечены три точки: середины его высот BH и BP и середина стороны AD. Сумма расстояний между серединами противоположных сторон четырёхугольника равна его полупериметру. Докажите, что этот четырёхугольник — параллелограмм. В выпуклом четырёхугольнике семь из восьми отрезков, соединяющих вершины с серединами противоположных сторон, равны. На продолжении AB, BC, CD и DA сторон выпуклого четырёхугольника ABCD откладываются отрезки BB1=AB; CC1=BC; DD1=CD; AA1=AD . Доказать, что площадь четырёхугольника A1B1C1D1 в пять раз больше площади четырёхугольника ABCD . |
Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 462]
В треугольнике ABC угол A равен 45o, а угол C — острый. Из середины стороны BC опущен перпендикуляр NM на сторону AC. Площади треугольников NMC и ABC относятся, как 1:8. Найдите углы треугольника ABC.
В выпуклом четырёхугольнике ABCD диагонали пересекаются в точке O. Площади треугольников BOC, COD, AOD равны соответственно 20, 40, 60. Найдите угол BAO, если известно, что AB = 15, AO = 8, а угол BAO больше 31o.
Прямая CE пересекает сторону AB треугольника ABC в точке E,
а прямая BD пересекает сторону AC в точке D. Прямые CE и BD
пересекаются в точке O. Площади треугольников BOE, BOC, COD
равны соответственно 15, 30, 24. Найдите угол DOE, если
известно, что OE = 4,
OD = 4
На сторонах AB и AD параллелограмма ABCD взяты соответственно точки E и F, причём отрезок EF параллелен диагонали BD. Докажите, что площади треугольников BCE и CDF равны.
Равнобедренная трапеция, у которой угол при основании равен 60o, описана около окружности. В каком отношении прямая, соединяющая точки касания окружности с боковыми сторонами, делит площадь трапеции.
Страница: << 17 18 19 20 21 22 23 >> [Всего задач: 462]
|
© 2004-...
МЦНМО
(о копирайте)
|
Пишите нам
|
![]() |
Проект осуществляется при поддержке