Квадратная доска разделена на n² прямоугольных клеток  n – 1  горизонтальными и  n – 1  вертикальными прямыми. Клетки раскрашены в шахматном порядке. Известно, что на одной диагонали все n клеток чёрные и квадратные. Докажите, что общая площадь всех чёрных клеток доски не меньше общей площади белых.

   Решение

Прямая отсекает треугольник AKN от правильного шестиугольника ABCDEF так, что  AK + AN = AB.
Найдите сумму углов, под которыми отрезок KN виден из вершин шестиугольника  (∠KAN + ∠KBN + ∠KCN + ∠KDN + ∠KEN + ∠KFN).

   Решение

Внутри стороны BC правильного треугольника ABC взята точка D. Прямая, проходящая через точку C и параллельная AD, пересекает прямую AB в точке E. Докажите, что  

   Решение

Футбольный мяч сшит из 32 лоскутков: белых шестиугольников и чёрных пятиугольников. Каждый чёрный лоскут граничит только с белыми, а каждый белый — с тремя чёрными и тремя белыми. Сколько лоскутков белого цвета?

   Решение

Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми рёбрами поставлено гранью ABC на плоскость. Точка F – середина ребра CD, точка S лежит на прямой AB,  AB = 2BS,  точка B лежит между A и S. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным?

   Решение

В треугольнике ABC известно, что AB = 10, BC = 24, а медиана BD равна 13. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC касаются медианы BD в точках M и N соответственно. Найдите MN.

   Решение

AA1 — высота остроугольного треугольника ABC , H — точка пересечения высот, O — центр окружности, описанной около треугольника ABC . Найдите OH , если известно, что AH=3 , A1H=2 , а радиус окружности равен 4.

   Решение

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 5, 12 и 13.

   Решение

Тело в форме тетраэдра ABCD с одинаковыми рёбрами поставлено гранью ABC на плоскость. Точка F лежит на ребре CD и  2DF = FC,  точка S лежит на прямой AB,  AB = 3BS  и точка B лежит между A и S. В точку S сажают муравья. Как должен муравей ползти в точку F, чтобы пройденный им путь был минимальным?

   Решение

Две окружности O и O₁ пересекаются в точке A . Провести через точку A такую прямую, чтобы отрезок BC , высекаемый на ней окружностями O и O₁ , был равен данному.

   Решение

Страница: << 86 87 88 89 90 91 92 >> [Всего задач: 487]      

На столе лежат четыре одинаковые монеты. Разрешается двигать монеты, не отрывая их от стола. Нужно расположить (не пользуясь измерительными инструментами!) монеты так, чтобы можно было положить на стол пятую монету такого же размера, касающуюся этих четырёх.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте параллелограмм по основанию, высоте и углу между диагоналями.

Прислать комментарий

Решение

Две окружности O и O₁ пересекаются в точке A . Провести через точку A такую прямую, чтобы отрезок BC , высекаемый на ней окружностями O и O₁ , был равен данному.

Прислать комментарий

Решение

Докажите, что все корни уравнения  a(z – b)ⁿ = c(z – d )ⁿ, где a, b, c, d – заданные комплексные числа, расположены на одной окружности или прямой.

Прислать комментарий

Решение

С помощью циркуля и линейки постройте равносторонний треугольник ABC так, чтобы его вершины лежали на трёх данных параллельных прямых.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 86 87 88 89 90 91 92 >> [Всего задач: 487]