Каталог по темам

Задачи

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 512]

Задача 66251

Темы:	[	Тетраэдр (прочее)	]
	[	Сфера, вписанная в тетраэдр	]
	[	Поворот и винтовое движение	]
	[	Прямые и плоскости в пространстве (прочее)	]
	[	Касательные к сферам	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	ГМТ в пространстве (прочее)	]
	[	Барицентрические координаты	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Неравенство треугольника (прочее)	]

Сложность: 5
Классы: 10,11

В тетраэдр ABCD вписана сфера с центром O, касающаяся его граней BCD, ACD, ABD и ABC в точках A₁, B₁, C₁ и D₁ соответственно.
а) Пусть P_a – такая точка, что точки, симметричные ей относительно прямых OB, OC и OD, лежат в плоскости BCD. Точки P_b, P_c и P_d определяются аналогично. Докажите, что прямые A₁P_a, B₁P_b, C₁P_c и D₁P_d пересекаются в некоторой точке P.
б) Пусть I – центр сферы, вписанной в тетраэдр A₁B₁C₁D₁; A₂ – точка пересечения прямой A₁I с плоскостью B₁C₁D₁; B₂, C₂, D₂ определены аналогично. Докажите, что P лежит внутри тетраэдра A₂B₂C₂D₂.

Прислать комментарий

Решение

Задача 61165

Темы:	[	Геометрические интерпретации в алгебре	]
	[	Тождественные преобразования (тригонометрия)	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Правильные многоугольники	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Найдите cos 36° и cos 72°.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64725

Темы:	[	Признаки и свойства параллелограмма	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Четыре точки, лежащие на одной окружности	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Произведение длин отрезков хорд и длин отрезков секущих	]
	[	Признаки подобия	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 4-
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

На сторонах AD и CD параллелограмма ABCD с центром O отмечены такие точки P и Q соответственно, что ∠AOP = ∠COQ = ∠ABC.
а) Докажите, что ∠ABP = ∠CBQ.
б) Докажите, что прямые AQ и CP пересекаются на описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 109647

Темы:	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Композиции поворотов	]
	[	Поворот помогает решить задачу	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Терешин Д.А.

Две окружности пересекаются в точках A и B. Через точку A проведена прямая, вторично пересекающая первую окружность в точке C, а вторую – в точке D. Пусть M и N – середины дуг BC и BD, не содержащих точку A, а K – середина отрезка CD. Докажите, что угол MKN прямой. (Можно считать, что точки C и D лежат по разные стороны от точки A.)

Прислать комментарий Решение

Задача 66960

Темы:	[	Усеченная пирамида	]
	[	Сферы (прочее)	]
	[	Радикальная ось	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Изогональное сопряжение	]
	[	Конус (прочее)	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]

Сложность: 5+
Классы: 10,11

Автор: Заславский А.А.

В усеченную треугольную пирамиду вписана сфера, касающаяся оснований в точках $T_1$, $T_2$. Пусть $h$ – высота пирамиды, $R_1$, $R_2$ – радиусы окружностей, описанных около ее оснований, $O_1$, $O_2$ – центры этих окружностей. Докажите, что $$ R_1R_2h^2=(R_1^2-O_1T_1^2)(R_2^2-O_2T_2^2). $$

Прислать комментарий Решение

Страница: << 97 98 99 100 101 102 103 >> [Всего задач: 512]