Версия для печати
Убрать все задачи

---

На отрезке  [0, N]  отмечены его концы и еще две точки так, что длины отрезков, на которые разбился отрезок  [0, N],  целые и взаимно просты в совокупности. Если нашлись такие две отмеченные точки A и B, что расстояние между ними кратно 3, то можно разделить отрезок AB на три равных части, отметить одну из точек деления и стереть одну из точек A, B. Верно ли, что за несколько таких действий можно отметить любую наперед заданную целую точку отрезка  [0, N]?

   Решение

---

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57072

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В правильном восемнадцатиугольнике A₀...A₁₇ проведены диагонали A₀A_p+3, A_p+1A_18–r и A₁A_p+q+3.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
  а)  {p, q, r} = {1, 3, 4},
  б)  {p, q, r} = {2, 2, 3}.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57004

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Взаимное расположение двух окружностей ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению  sin²A + sin²B + sin²C = 1.
Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79501

Темы:   [ Неравенства с биссектрисами ] [ Теорема синусов ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111266

Темы:   [ Симметричные неравенства для углов треугольника ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Теорема синусов ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58017

Темы:   [ Поворотная гомотетия ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дана полуокружность с диаметром AB. Для каждой точки X этой полуокружности на луче XA откладывается точка Y так, что XY = kXB. Найдите ГМТ Y.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями