Тема:
Все темы
>>
Геометрия
>>
Планиметрия
>>
Треугольники
>>
Взаимоотношения между сторонами и углами треугольников. Решение треугольников.
>>
Вписанная, описанная и вневписанная окружности; их радиусы
Подтемы:
- Формула Эйлера (16 задач)
- Радиусы вписанной, описанной и вневписанной окружности (прочее) (127 задач)
Фильтр
Выбрано 14 задач Убрать все задачи
В первой четверти у Васи было пять оценок по математике, больше всего среди них пятёрок. При этом оказалось, что медиана всех оценок равна 4, а среднее арифметическое 3,8. Какие оценки могли быть у Васи?
В ящиках лежат орехи. Известно, что в среднем в каждом ящике 10 орехов, а среднее арифметическое квадратов чисел орехов в ящиках меньше 1000. Докажите, что по крайней мере 10% ящиков не пустые.
Алфавит племени Мумбо-Юмбо состоит из трёх букв. Словом является любая последовательность, состоящая не более чем из четырёх букв.
Сколько слов в языке племени Мумбо-Юмбо?
В страшную грозу по верёвочной лестнице цепочкой поднимаются n гномиков. Если вдруг случится удар грома, то от испуга каждый гномик, независимо от других, может упасть с вероятностью p (0 < p < 1). Если гномик падает, то он сшибает и всех гномиков, которые находятся ниже. Найдите:
а) Вероятность того, что упадёт ровно k гномиков.
б) Математическое ожидание числа упавших гномиков.
Последовательность состоит из 19 единиц и 49 нулей, стоящих в случайном порядке. Назовём группой максимальную подпоследовательность из одинаковых символов. Например, в последовательности 110001001111 пять групп: две единицы, потом три нуля, потом одна единица, потом два нуля и, наконец, четыре единицы. Найдите математическое ожидание длины первой группы.
Докажите или опровергните следующее утверждение: круг площадью
можно поместить внутрь треугольника со сторонами 3, 4 и 5.
а) Из любых двухсот целых чисел можно выбрать сто чисел, сумма которых делится на 100. Докажите это.
б) Из любых 2n – 1 целых чисел можно выбрать n, сумма которых делится на n. Докажите это.
В равнобедренном треугольнике боковая сторона равна 20, а диаметр описанной окружности равен 25. Найдите радиус вписанной окружности.
Выпуклый многоугольник разрезан на выпуклые семиугольники (так, что каждая сторона многоугольника является стороной одного из семиугольников). Докажите, что найдутся четыре соседние вершины многоугольника, принадлежащие одному семиугольнику.
Сколько диагоналей имеет выпуклый:
а) 10-угольник; б) k-угольник (k > 3)?
Окружности
,
,
и
касаются данной
окружности в вершинах A, B, C и D выпуклого четырехугольника ABCD.
Пусть
t
— длина общей касательной к окружностям
и
(внешней, если оба касания внутренние или внешние одновременно,
и внутренней, если одно касание внутреннее, а другое внешнее);
t
, t
и т. д. определяются аналогично. Докажите,
что
t
t
+ t
t
= t
t
(обобщенная теорема Птолемея).
В футбольной команде (11 человек) нужно выбрать капитана и его заместителя. Сколькими способами это можно сделать?
На сушке в случайном порядке (как достали из стиральной машины) висит n пар носков. Двух одинаковых пар нет. Носки висят за сохнущей простыней, поэтому Рассеянный Учёный достает по одному носку на ощупь и сравнивает каждый новый носок со всеми предыдущими. Найдите математическое ожидание числа носков, снятых к моменту, когда у Учёного окажется какая-нибудь пара.
Стороны BC = a, AC = b, AB = c треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причём a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B1. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB1 пополам.
Задачи Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 213]
Задача 115284 |
|
Стороны BC = a, AC = b, AB = c треугольника ABC образуют арифметическую прогрессию, причём a < b < c. Биссектриса угла B пересекает описанную окружность в точке B1. Докажите, что центр O вписанной окружности делит отрезок BB1 пополам.
|
|
Решение |
Задача 115857 |
|
|
Пусть a, b, c – длины сторон произвольного треугольника; p – полупериметр; r – радиус вписанной окружности. Докажите неравенство
|
|
Решение |
Задача 116034 |
|
Диагонали выпуклого четырёхугольника ABCD перпендикулярны и
пересекаются в точке O. Известно, что сумма радиусов окружностей, вписанных в треугольники AOB и COD, равна сумме радиусов окружностей, вписанных в треугольники BOC и DOA. Докажите, что
а) четырёхугольник ABCD – описанный;
б) четырёхугольник ABCD симметричен относительно одной из своих диагоналей.
|
|
|
Решение |
Задача 52554 |
|
|
В треугольник ABC вписана окружность. Пусть x — расстояние от вершины A до касания окружности со стороной AB, BC = a. Докажите, что x = p - a, где p — полупериметр треугольника.
|
|
|
Решение |
Задача 53986 |
|
|
Окружность касается стороны BC треугольника ABC в точке M и продолжений двух других сторон. Докажите, что прямая AM делит периметр треугольника пополам.
|
|
|
Решение |
Страница: << 19 20 21 22 23 24 25 >> [Всего задач: 213]
