Каталог по темам

Задачи

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 829]

Задача 115687

Темы:	[	Ломаные	]
	[	Пятиугольники	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Применение тригонометрических формул (геометрия)	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

Замкнутая пятизвенная ломаная образует равноугольную звезду (см. рис.).
Чему равен периметр внутреннего пятиугольника ABCDE, если длина исходной ломаной равна 1?

Прислать комментарий

Решение

Задача 116087

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Терешин Д.А.

На медианах треугольника как на диаметрах построены три окружности. Известно, что они попарно пересекаются. Пусть C₁ – более удалённая от вершины C точка пересечения окружностей, построенных на медианах AM₁ и BM₂. Точки A₁ и B₁ определяются аналогично. Докажите, что прямые AA₁, BB₁ и CC₁ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116162

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Вписанные четырехугольники (прочее)	]
	[	Радикальная ось	]

Сложность: 4
Классы: 10,11

Автор: Ивлев Ф.

Дана неравнобокая трапеция ABCD (AB || CD). Окружность, проходящая через точки A и B, пересекает боковые стороны трапеции в точках P и Q, а диагонали – в точках M и N. Докажите, что прямые PQ, MN и CD пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116904

Темы:	[	Три прямые, пересекающиеся в одной точке	]
	[	Свойства симметрий и осей симметрии	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Центральная симметрия помогает решить задачу	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10

Авторы: Швецов Д.В., Заславский А.А.

Через вершины A, B, C треугольника ABC проведены три параллельные прямые, пересекающие вторично его описанную окружность в точках A₁, B₁, C₁ соответственно. Точки A₂, B₂, C₂ симметричны точкам A₁, B₁, C₁ относительно сторон BC, CA, AB соответственно. Докажите, что прямые AA₂, BB₂, CC₂ пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66802

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
Темы:	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]

Сложность: 4
Классы: 8,9,10,11

Автор: Прокопенко Д.

Пусть точка $P$ лежит на описанной окружности треугольника $ABC$. Точка $A_1$ симметрична ортоцентру треугольника $PBC$ относительно серединного перпендикуляра к $BC$. Точки $B_1$ и $C_1$ определяются аналогично. Докажите, что точки $A_1$, $B_1$ и $C_1$ лежат на одной прямой.

Прислать комментарий Решение

Страница: << 36 37 38 39 40 41 42 >> [Всего задач: 829]