Каталог по темам

Задачи

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 838]

Задача 56883

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Прямоугольники и квадраты. Признаки и свойства	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Докажите, что проекции вершины A треугольника ABC на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах B и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64397

Темы:	[	Теорема Фалеса и теорема о пропорциональных отрезках	]
Темы:	[	Теоремы Чевы и Менелая	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,10

Автор: Ясинский В.

На сторонах AB и AC треугольника ABC взяты точки E и F. Прямые EF и BC пересекаются в точке S. Точки M и N – середины отрезков BC и EF соответственно. Прямая, проходящая через вершину A и параллельная MN, пересекает BC в точке K. Докажите, что BK : CK = FS : ES.

Прислать комментарий

Решение

Задача 64809

Темы:	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Вневписанные окружности	]
	[	Гомотетия помогает решить задачу	]
	[	Средняя линия треугольника	]
	[	Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Полянский А.

Пусть I – центр вписанной окружности треугольника ABC, M, N – середины дуг ABC и BAC описанной окружности.
Докажите, что точки M, I, N лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда AC + BC = 3AB.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66234

Темы:	[	Параллельные прямые, свойства и признаки. Секущие	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Отношения линейных элементов подобных треугольников	]
	[	Треугольник, образованный основаниями двух высот и вершиной	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Швецов Д.В.

Высоты AA₁, CC₁ треугольника ABC пересекаются в точке H. H_A – точка симметричная H относительно A. H_AC₁ пересекает прямую BC в точке C'; аналогично определяется точка A'. Докажите, что A'C' || AC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 66754

Темы:	[	Биссектриса угла	]
Темы:	[	Теорема синусов	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9,11

Авторы: Бакаев Е.В., Кожевников П.А., Богданов И.И., Расторгуев В.

К плоскости приклеены два непересекающихся не обязательно одинаковых деревянных круга – серый и чёрный. Дан бесконечный деревянный угол, одна сторона которого серая, а другая – чёрная. Его передвигают так, чтобы круги были снаружи угла, причём серая сторона касалась серого круга, а чёрная – чёрного (касание происходит не в вершине). Докажите, что внутри угла можно нарисовать луч, выходящий из вершины, так, чтобы при всевозможных положениях угла этот луч проходил через одну и ту же точку плоскости.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 34 35 36 37 38 39 40 >> [Всего задач: 838]