Версия для печати
Убрать все задачи

---

На плоскости даны три точки A, B, C. Через точку C проведите прямую так, чтобы произведение расстояний от этой прямой до A и B было максимальным. Всегда ли такая прямая единственна?

   Решение

---

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC точки C₀ и B₀ – середины сторон AB и AC соответственно, O – центр описанной окружности, H – точка пересечения высот. Прямые BH и OC₀ пересекаются в точке P, а прямые CH и OB₀ – в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник OPHQ – ромб. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

   Решение

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 105104

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Вписанный угол, опирающийся на диаметр ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Внутри угла с вершиной M отмечена точка A. Из этой точки выпустили шар, который отразился от одной стороны угла в точке B, затем от другой стороны в точке C и вернулся в A ("угол падения" равен "углу отражения", см. рис.). Докажите, что центр O описанной окружности треугольника BCM лежит на прямой AM. (Шар считайте точкой.)

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108633

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Ромбы. Признаки и свойства ] [ Вписанные четырехугольники (прочее) ] [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

В ромбе ABCD на стороне BC нашлась такая точка E, что  AE = CD.  Отрезок ED пересекается с описанной окружностью треугольника AEB в точке F. Докажите, что точки A, F и C лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115610

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вспомогательные подобные треугольники ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Точка O – центр окружности, вписанной в треугольник ABC. На сторонах AC и BC выбрали соответственно точки M и K так, что  BK·AB = BO²  и  AM·AB = AO².  Докажите, что точки M, O и K лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 115683

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Свойства биссектрис, конкуррентность ] [ Неопределено ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Прямая, содержащая сторону AC остроугольного треугольника ABC, симметрично отражается относительно прямых AB и BC. Две полученные прямые пересекаются в точке K. Докажите, что прямая BK проходит через центр O описанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116561

Темы:   [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Биссектриса угла (ГМТ) ] [ Симметрия помогает решить задачу ]

Сложность: 3+ Классы: 9,10

В неравнобедренном остроугольном треугольнике ABC точки C₀ и B₀ – середины сторон AB и AC соответственно, O – центр описанной окружности, H – точка пересечения высот. Прямые BH и OC₀ пересекаются в точке P, а прямые CH и OB₀ – в точке Q. Оказалось, что четырёхугольник OPHQ – ромб. Докажите, что точки A, P и Q лежат на одной прямой.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 1 2 3 4 5 6 7 >> [Всего задач: 157]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями