Версия для печати
Убрать все задачи

---

На стороне BC параллелограмма ABCD  (∠A < 90°)  отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок).

Докажите, что ортоцентр треугольника O₁O₂O₃ лежит на прямой AD.

   Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 207]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 101881

Темы:   [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Пересекающиеся окружности ] [ Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Отношение, в котором биссектриса делит сторону ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Две окружности с центрами O и Q, пересекающиеся друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке E, причём площади треугольников OAE и QAE равны 49 и 21 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OAQD и отношение  BC : BD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 108909

Темы:   [ Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть ] [ Угол между касательной и хордой ] [ Три точки, лежащие на одной прямой ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Величина угла между двумя хордами и двумя секущими ] [ Биссектриса делит дугу пополам ]

Сложность: 4- Классы: 8,9

Дана окружность Ω и точка P вне её. Проходящая через точку P прямая l пересекает окружность в точках A и B. На отрезке AB отмечена такая точка C, что  PA·PB = PC². Точки M и N – середины двух дуг, на которые хорда AB разбивает окружность Ω. Докажите, что величина угла MCN не зависит от выбора прямой l.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116647

Темы:   [ Параллелограммы (прочее) ] [ Вписанные и описанные окружности ] [ Ортоцентр и ортотреугольник ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Симметрия помогает решить задачу ] [ Вспомогательные подобные треугольники ] [ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

На стороне BC параллелограмма ABCD  (∠A < 90°)  отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок).

Докажите, что ортоцентр треугольника O₁O₂O₃ лежит на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116760

Темы:   [ Вписанные и описанные окружности ] [ Признаки равенства прямоугольных треугольников ] [ Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Углы между биссектрисами ]

Сложность: 4- Классы: 9,10

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что  AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁.  Пусть I_A, I_B и I_C – центры окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C, соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника I_AI_BI_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 53360

Темы:   [ Медиана, проведенная к гипотенузе ] [ Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле. ] [ Признаки и свойства равнобедренного треугольника. ] [ Вписанный угол равен половине центрального ] [ Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$ ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

В треугольнике ABC известны углы:  ∠A = 45°,  ∠B = 15°. На продолжении стороны AC за точку C взята точка M, причём  CM = 2AC.  Найдите  ∠AMB.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 207]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями