Версия для печати
Убрать все задачи

---

Толя выложил в ряд 101 монету достоинством 1, 2 и 3 копейки. Оказалось, что между каждыми двумя копеечными монетами лежит хотя бы одна монета, между каждыми двумя двухкопеечными монетами лежат хотя бы две монеты, а между каждыми двумя трёхкопеечными монетами лежат хотя бы три монеты. Сколько трёхкопеечных монет могло быть у Толи?

   Решение

---

Решить в целых числах уравнение  xy + 3x – 5y = – 3.

   Решение

---

Все боковые рёбра пирамиды равны b , а высота равна h . Найдите радиус описанной около основания окружности.

   Решение

---

Докажите неравенство для положительных значений переменных:
≥ + .

   Решение

---

Верно ли, что сумма внутренних двугранных углов при основании треугольной пирамиды всегда меньше суммы внешних?

   Решение

---

Найдите наибольшее значение функции y = 14x-7tgx-3,5π +11 на отрезке [-;] .

   Решение

---

В квадрате 7×7 клеток закрасьте некоторые клетки так, чтобы в каждой строке и в каждом столбце оказалось ровно по три закрашенных клетки.

   Решение

---

Сфера радиуса r касается всех рёбер треугольной пирамиды. Центр этой сферы лежит на высоте пирамиды. Докажите, что пирамида правильная и найдите её высоту, если известно, что центр сферы удален от вершины пирамиды на расстояние r .

   Решение

---

На плоской горизонтальной площадке стоят пять прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые четыре из этих прожекторов можно повернуть так, что все четыре испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все пять прожекторов, чтобы все пять лучей пересеклись в одной точке?

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 71]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 109018

Темы:   [ Покрытия ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 3 Классы: 7,8,9

Окружность покрыта несколькими дугами. Эти дуги могут налегать друг на друга, но ни одна из них не покрывает окружность целиком. Доказать, что всегда можно выбрать несколько из этих дуг так, чтобы они тоже покрывали всю окружность и составляли в сумме не более 720^o .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 32032

Темы:   [ Неравенство треугольника (прочее) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Линейные неравенства и системы неравенств ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

На плоскости имеется 1983 точки и окружность единичного радиуса.
Доказать, что на окружности найдётся точка, сумма расстояний от которой до данных точек не меньше 1983.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 67041

Темы:   [ Сумма внутренних и внешних углов многоугольника ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9

Выпуклый $n$-угольник  ($n$ > 4)  обладает таким свойством: если диагональ отсекает от него треугольник, то этот треугольник равнобедренный. Докажите, что среди любых четырёх сторон этого n-угольника есть хотя бы две равных.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 78615

Темы:   [ Принцип Дирихле (конечное число точек, прямых и т. д.) ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Покрытия ] [ Круг, сектор, сегмент и проч. ]

Сложность: 3+ Классы: 8,9,10

Над квадратным катком нужно повесить четыре лампы так, чтобы они его полностью освещали. На какой наименьшей высоте нужно повесить лампы, если каждая лампа освещает круг радиуса, равного высоте, на которой она висит?

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 116703

Темы:   [ Наглядная геометрия в пространстве ] [ Принцип Дирихле (углы и длины) ] [ Частные случаи тетраэдров (прочее) ]

Сложность: 3+ Классы: 11

На плоской горизонтальной площадке стоят пять прожекторов, каждый из которых испускает лазерный луч под одним из двух острых углов α или β к площадке и может вращаться лишь вокруг вертикальной оси, проходящей через вершину луча. Известно, что любые четыре из этих прожекторов можно повернуть так, что все четыре испускаемых ими луча пересекутся в одной точке. Обязательно ли можно так повернуть все пять прожекторов, чтобы все пять лучей пересеклись в одной точке?

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 71]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями