Loading [Contrib]/a11y/accessibility-menu.js
ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 21 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

В окружность радиуса R вписан шестиугольник ABCDEF. Известно, что $ \angle$A = $ \angle$C = $ \angle$E, AB = a, CD = b, EF = c. Найдите площадь шестиугольника ABCDEF.

Вниз   Решение


Пусть A, B и C – три числа, большие 0 и меньшие 1, K – наибольшее из них. Докажите, что  1 – (1 – A)(1 – B)(1 – C) > K.

ВверхВниз   Решение


Сто положительных чисел C1, C2, ..., C100 удовлетворяют условиям  
Доказать, что среди них можно найти три числа, сумма которых больше 100.

ВверхВниз   Решение


Автор: Нилов Ф.

Центр окружности ω2 лежит на окружности ω1. Из точки X окружности ω1 проведены касательные XP и XQ к окружности ω2 (P и Q – точки касания), которые повторно пересекают ω1 в точках R и S. Докажите, что прямая PQ проходит через середину отрезка RS.

ВверхВниз   Решение


На данной окружности выбраны диаметрально противоположные точки A и B и третья точка C. Касательная, проведённая к окружности в точке A, и прямая BC пересекаются в точке M. Доказать, что касательная, проведённая к окружности в точке C, делит пополам отрезок AM.

ВверхВниз   Решение


Простые числа имеют только два различных делителя – единицу и само это число. А какие числа имеют только три различных делителя?

ВверхВниз   Решение


Дано 25 чисел. Какие бы три из них мы ни выбрали, среди оставшихся найдётся такое четвёртое, что сумма этих четырёх чисел будет положительна. Верно ли, что сумма всех чисел положительна?

ВверхВниз   Решение


Постройте последовательность полиномов, которая получается, если метод Лобачевского (см. задачу 61333) применить для приближенного нахождения корней многочлена  x² – x – 1.  Какие последовательности будут сходиться к корням x1 и x2, если  |x1| > |x2|?

ВверхВниз   Решение


Можно ли расставить в вершинах куба натуральные числа так, чтобы в каждой паре чисел, связанных ребром, одно из них делилось на другое, а во всех других парах такого не было?

ВверхВниз   Решение


Доказать, что для любых чисел  a1, ..., a1987  и положительных чисел  b1,..., b1987  справедливо неравенство

+ ... + .

ВверхВниз   Решение


На плоскости даны точки A и B. Найдите геометрическое место точек C, для которых $ \angle$C > $ \angle$B и треугольник ABC:

а) остроугольный;

б) тупоугольный.

ВверхВниз   Решение


a, b, c, d – положительные числа. Докажите, что по крайней мере одно из неравенств
  1)  a + b < c + d;
  2)  (a + b)cd < ab(c + d);
  3)  (a + b)(c + d) < ab + cd
неверно.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Дано 1989 чисел. Известно, что сумма любых десяти из них положительна. Докажите, что сумма всех чисел тоже положительна.

ВверхВниз   Решение


Каждый участник двухдневной олимпиады в первый день решил столько же задач, сколько все остальные в сумме – во второй день.
Докажите, что все участники решили поровну задач.

ВверхВниз   Решение


Автор: Фольклор

Мальвина велела Буратино разрезать квадрат на 7 прямоугольников (необязательно различных), у каждого из которых одна сторона в два раза больше другой. Выполнимо ли это задание?

ВверхВниз   Решение


а) Докажите, что    где a0, ..., an – рациональные числа.

б) Найдите эти представления в явном виде для  n = 2, 3, 4, 5.

в) Выразите sinnx при чётном n в виде    а при нечётном – в виде  

ВверхВниз   Решение


Вычислите суммы:
а)  cos²x + cos²2x + ... + cos²2nx;
б)  sin²x + sin²2x + ... + sin²2nx.

ВверхВниз   Решение


Известно, что  sin α = 3/5.  Докажите, что  sin 25α  имеет вид  n/525,  где n – целое, не делящееся на 5.

ВверхВниз   Решение


а) Докажите равенство:   cos φ + ... + cos nφ = ;
б) Вычислите сумму:   sinφ + ... + sin nφ.

ВверхВниз   Решение


Пользуясь теоремой о рациональных корнях многочлена (см. задачу 61013), докажите, что если  p/q  рационально и  cos (p/q)° ≠ 0, ±½, ±1,  то
cos (p/q)°  – число иррациональное.

ВверхВниз   Решение


Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что  EK || AB  и найдите площадь трапеции ABKE.

Вверх   Решение

Задачи

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      



Задача 78498

Темы:   [ Площадь треугольника (прочее) ]
[ Векторы помогают решить задачу ]
[ Псевдоскалярное произведение ]
[ Формулы для площади треугольника ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10,11

Дан произвольный треугольник ABC и точка X вне его. AM, BN, CQ — медианы треугольника ABC. Доказать, что площадь одного из треугольников XAM, XBN, XCQ равна сумме площадей двух других.
Прислать комментарий     Решение


Задача 52683

Темы:   [ Вневписанные окружности ]
[ Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Площадь треугольника (через полупериметр и радиус вписанной или вневписанной окружности) ]
[ Формулы для площади треугольника ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольнике ABC с периметром 2p острый угол BAC равен $ \alpha$. Окружность с центром в точке O касается стороны BC и продолжения сторон AB и AC в точках K и L соответственно. Точка D лежит внутри отрезка AK, AD = a. Найдите площадь треугольника DOK.

Прислать комментарий     Решение


Задача 55233

Темы:   [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ]
[ Отношения линейных элементов подобных треугольников ]
[ Средняя линия треугольника ]
[ Вспомогательная площадь. Площадь помогает решить задачу ]
[ Формулы для площади треугольника ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Неравенство Коши ]
Сложность: 4
Классы: 8,9

Докажите, что в любом треугольнике имеет место неравенство  R ≥ 2r, где R и r – радиусы описанной и вписанной окружностей, причём равенство имеет место только для правильного треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Задача 52671

Темы:   [ Равнобедренные, вписанные и описанные трапеции ]
[ Площадь трапеции ]
[ Две касательные, проведенные из одной точки ]
[ Симметрия помогает решить задачу ]
[ Прямоугольный треугольник с углом в $30^\circ$ ]
[ Формулы для площади треугольника ]
Сложность: 3
Классы: 8,9

Около окружности радиуса R описана равнобедренная трапеция ABCD. E и K – точки касания этой окружности с боковыми сторонами трапеции. Угол между основанием AB и боковой стороной AD трапеции равен 60°. Докажите, что  EK || AB  и найдите площадь трапеции ABKE.

Прислать комментарий     Решение

Задача 116913

Темы:   [ Свойства медиан. Центр тяжести треугольника. ]
[ Взаимное расположение высот, медиан, биссектрис и проч. ]
[ Вписанные и описанные окружности ]
[ Вневписанные окружности ]
[ Гомотетия помогает решить задачу ]
[ Точка Нагеля. Прямая Нагеля ]
[ Длины сторон, высот, медиан и биссектрис ]
[ Формулы для площади треугольника ]
[ Момент инерции ]
Сложность: 5-
Классы: 9,10

Пусть M и I – точки пересечения медиан и биссектрис неравнобедренного треугольника ABC, а r – радиус вписанной в него окружности.
Докажите, что  MI = r/3  тогда и только тогда, когда прямая MI перпендикулярна одной из сторон треугольника.

Прислать комментарий     Решение

Страница: << 1 2 3 4 [Всего задач: 20]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .