Каталог по темам

Задачи

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 207]

Задача 101881

Темы:	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Пересекающиеся окружности	]
	[	Отношение площадей треугольников с общим основанием или общей высотой	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Отношение, в котором биссектриса делит сторону	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Две окружности с центрами O и Q, пересекающиеся друг с другом в точках A и B, пересекают биссектрису угла OAQ в точках C и D соответственно. Отрезки OQ и AD пересекаются в точке E, причём площади треугольников OAE и QAE равны 49 и 21 соответственно. Найдите площадь четырёхугольника OAQD и отношение BC : BD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 108909

Темы:	[	Теорема о длинах касательной и секущей; произведение всей секущей на ее внешнюю часть	]
	[	Угол между касательной и хордой	]
	[	Три точки, лежащие на одной прямой	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Величина угла между двумя хордами и двумя секущими	]
	[	Биссектриса делит дугу пополам	]

Сложность: 4-
Классы: 8,9

Дана окружность Ω и точка P вне её. Проходящая через точку P прямая l пересекает окружность в точках A и B. На отрезке AB отмечена такая точка C, что PA·PB = PC². Точки M и N – середины двух дуг, на которые хорда AB разбивает окружность Ω. Докажите, что величина угла MCN не зависит от выбора прямой l.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116647

Темы:	[	Параллелограммы (прочее)	]
	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Ортоцентр и ортотреугольник	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Симметрия помогает решить задачу	]
	[	Вспомогательные подобные треугольники	]
	[	Тригонометрические соотношения в прямоугольном треугольнике	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10,11

Автор: Емельянова Т.

На стороне BC параллелограмма ABCD (∠A < 90°) отмечена точка T так, что треугольник ATD – остроугольный. Пусть O₁, O₂ и O₃ – центры описанных окружностей треугольников ABT, DAT и CDT соответственно (см. рисунок).

Докажите, что ортоцентр треугольника O₁O₂O₃ лежит на прямой AD.

Прислать комментарий

Решение

Задача 116760

Темы:	[	Вписанные и описанные окружности	]
	[	Признаки равенства прямоугольных треугольников	]
	[	Углы, опирающиеся на равные дуги и равные хорды	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Углы между биссектрисами	]

Сложность: 4-
Классы: 9,10

Автор: Полянский А.

Точки A₁, B₁, C₁ выбраны на сторонах BC, CA и AB треугольника ABC соответственно. Оказалось, что AB₁ – AC₁ = CA₁ – CB₁ = BC₁ – BA₁. Пусть I_A, I_B и I_C – центры окружностей, вписанных в треугольники AB₁C₁, A₁BC₁ и A₁B₁C, соответственно. Докажите, что центр описанной окружности треугольника I_AI_BI_C совпадает с центром вписанной окружности треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

Задача 53360

Темы:	[	Медиана, проведенная к гипотенузе	]
	[	Сумма углов треугольника. Теорема о внешнем угле.	]
	[	Признаки и свойства равнобедренного треугольника.	]
	[	Вписанный угол равен половине центрального	]
	[	Треугольники с углами $60^\circ$ и $120^\circ$	]

Сложность: 4
Классы: 8,9

В треугольнике ABC известны углы: ∠A = 45°, ∠B = 15°. На продолжении стороны AC за точку C взята точка M, причём CM = 2AC. Найдите ∠AMB.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 32 33 34 35 36 37 38 >> [Всего задач: 207]