Каталог по темам

Выбрано 10 задач

Через концы диаметра окружности проведены две хорды, пересекающиеся на окружности и равные 12 и 16. Найдите расстояния от центра окружности до этих хорд.

Решение

Автор: Шатунов Л.

Дан выпуклый четырехугольник $ABCD$ . Прямая $l \parallel AC$ пересекает прямые $AD, BC, AB, CD$ в точках $X, Y, Z, T$ . Описанные окружности треугольников $XYB$ и $ZTB$ вторично пересекаются в точке $R$ . Докажите, что $R$ лежит на прямой $BD$ .

Решение

Автор: Диомидов Е.

Дан острый угол с вершиной A и точка E внутри него. Построить на сторонах угла точки B, C так, чтобы E была центром окружности Эйлера треугольника ABC.

Решение

Угол при основании равнобедренного треугольника равен $\varphi$ . Найдите отношение радиуса вписанной в данный треугольник окружности к радиусу описанной окружности.

Решение

Пусть h — наибольшая высота нетупоугольного треугольника. Докажите, что r + R $\leq$ h.

Решение

Сторона AD параллелограмма ABCD разделена на n равных частей. Первая точка деления P соединена с вершиной B.
Доказать, что прямая BP отсекает на диагонали AC часть AQ, которая равна ¹/_n+1 части диагонали: AQ = ^AC/_n+1.

Решение

Во вписанном четырёхугольнике ABCD известны углы: ∠DAB = α, ∠ABC = β, ∠BKC = γ, где K – точка пересечения диагоналей. Найдите угол ACD.

Решение

Автор: Френкин Б.Р.

Многочлен $P(x, y)$ таков, что для всякого целого $n\geqslant 0$ каждый из многочленов $P(n, y)$ и $P(x, n)$ либо тождественно равен нулю, либо имеет степень не выше $n$ .
Может ли многочлен $P(x, x)$ иметь нечётную степень?

Решение

Из вершины B произвольного треугольника ABC проведены вне треугольника прямые BM и BN, так что ∠ABM = ∠CBN. Точки A' и C' симметричны точкам A и C относительно прямых BM и BN (соответственно). Доказать, что AC' = A'C.

Решение

Найдите геометрическое место точек M, лежащих внутри ромба ABCD и обладающих тем свойством, что ∠AMD + ∠BMC = 180°.

Решение

Задача 54571

Задача 54582

Задача 54634

Задача 55700

Задача 55766