Дан параллелограмм ABCD. Вневписанная окружность треугольника ABD касается продолжений сторон AD и AB в точках M и N. Докажите, что точки пересечения отрезка MN с BC и CD лежат на вписанной окружности треугольника BCD.

   Решение

Дано число 100...01, число нулей в нем равно 299. Докажите, что это число составное.

   Решение

Средняя линия, параллельная стороне $AC$ треугольника $ABC$, пересекает его описанную окружность в точках $X$ и $Y$. Пусть $I$ – центр вписанной окружности треугольника $ABC$, а $D$ – середина дуги $AC$, не содержащей точку $B$. На отрезке $DI$ отметили точку $L$ такую, что $DL=BI/2$. Докажите, что из точек $X$ и $Y$ отрезок $IL$ виден под равными углами.

   Решение

На сторонах АВ, ВС и СА равностороннего треугольника АВС выбраны точки D, E и F соответственно так, что  DE || АC,  DF || BС.
Найдите угол между прямыми AЕ и BF.

   Решение

Докажите, что если     при  n = 2, ..., 10,  то  

   Решение

Меньшая боковая сторона прямоугольной трапеции равна 3, а большая образует угол 30°, с одним из оснований.
Найдите это основание, если на нём лежит точка пересечения биссектрис углов при другом основании.

   Решение

Почему равенства  11² = 121  и  11³ = 1331  похожи на строчки треугольника Паскаля? Чему равно 11⁴?

   Решение

Квадраты ABCD и BEFG расположены так, как показано на рисунке. Оказалось, что точки A, G и E лежат на одной прямой.
Докажите, что тогда точки D, F и E также лежат на одной прямой.

   Решение

На новогодний вечер пришли несколько супружеских пар, у каждой из которых было от 1 до 10 детей. Дед Мороз выбирал одного ребёнка, одну маму и одного папу из трёх разных семей и катал их в санях. Оказалось, что у него было ровно 3630 способов выбрать нужную тройку людей. Сколько всего могло быть детей на этом вечере?

   Решение

В окружность с центром O вписана трапеция ABCD, в которой AD || BC, AD = 7, BC = 3, угол BCD равен 120^o. Хорда BM окружности пересекает отрезок AD в точке N, причём ND = 2. Найдите площадь треугольника BOM.

   Решение

Четырёхугольник $ABCD$ вписан в окружность с центром $O$. Пусть $P$ – точка пересечения его диагоналей, а точки $M$ и $N$ – середины сторон $AB$ и $CD$ соответственно. Окружность $OPM$ вторично пересекает отрезки $AP$ и $BP$ в точках $A_1$ и $B_1$ соответственно, а окружность $OPN$ вторично пересекает отрезки $CP$ и $DP$ в точках $C_1$ и $D_1$ соответственно. Докажите, что площади четырёхугольников $AA_1B_1B$ и $CC_1D_1D$ равны.

   Решение

Дан угол, равный 19°. Разделите его на 19 равных частей с помощью циркуля и линейки.

   Решение

С помощью циркуля и линейки разделите данный параллелограмм на четыре равновеликих части прямыми, выходящими из одной вершины.

   Решение

В стране Леонардии все дороги – с односторонним движением. Каждая дорога соединяет два города и не проходит через другие города. Департамент статистики вычислил для каждого города суммарное число жителей в городах, откуда в него ведут дороги, и суммарное число жителей в городах, куда ведут дороги из него. Докажите, что хотя бы для одного города первое число оказалось не меньше второго.

   Решение

В тетраэдре DABC  ∠ACB = ∠ADB,  ребро СD перпендикулярно плоскости АВС. В треугольнике АВС дана высота h, проведённая к стороне АВ, и расстояние d от центра описанной окружности до этой стороны. Найдите CD.

   Решение

Окружность радиуса R, построенная на большем основании AD трапеции ABCD как на диаметре, касается меньшего основания BC в точке C, а боковой стороны AB — в точке A. Найдите диагонали трапеции.

   Решение

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 772]      

Окружность радиуса R, построенная на большем основании AD трапеции ABCD как на диаметре, касается меньшего основания BC в точке C, а боковой стороны AB — в точке A. Найдите диагонали трапеции.

Прислать комментарий

Решение

Найдите радиусы вписанной и вневписанных окружностей треугольника со сторонами 5, 12 и 13.

Прислать комментарий

Решение

Окружность, вписанная в прямоугольную трапецию, делит её большую боковую сторону на отрезки, равные 1 и 4. Найдите площадь трапеции.

Прислать комментарий

Решение

Окружность, вписанная в равнобедренную трапецию, делит её боковую сторону на отрезки, равные 4 и 9. Найдите площадь трапеции.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC известно, что AB = 10, BC = 24, а медиана BD равна 13. Окружности, вписанные в треугольники ABD и BDC касаются медианы BD в точках M и N соответственно. Найдите MN.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 51 52 53 54 55 56 57 >> [Всего задач: 772]