Дана окружность S, точка A на ней и точка H внутри неё. Постройте на окружности такие точки B и C, чтобы точка H была точкой пересечения высот треугольника ABC.

   Решение

Страница: << 164 165 166 167 168 169 170 >> [Всего задач: 1032]      

Дана окружность S, точка A на ней и точка H внутри неё. Постройте на окружности такие точки B и C, чтобы точка H была точкой пересечения высот треугольника ABC.

Прислать комментарий

Решение

На окружности отмечены 10 точек, занумерованные по часовой стрелке: A₁, A₂, ..., A₁₀, причём их можно разбить на пары симметричных относительно центра окружности. Изначально в каждой отмеченной точке сидит по кузнечику. Каждую минуту один из кузнечиков прыгает вдоль окружности через своего соседа так, чтобы расстояние между ними не изменилось. При этом нельзя пролетать над другими кузнечиками и попадать в точку, где уже сидит кузнечик. Через некоторое время оказалось, что какие-то 9 кузнечиков сидят в точках A₁, A₂, ..., A₉, а десятый сидит на дуге A₉A₁₀A₁. Можно ли утверждать, что он сидит именно в точке A₁₀?

Прислать комментарий

Решение

В остроугольном неравнобедренном треугольнике ABC проведены медиана AM и высота AH. На прямых AB и AC отмечены точки Q и P соответственно так, что  QM ⊥ AC  и  PM ⊥ AB.  Описанная окружность треугольника PMQ пересекает прямую BC вторично в точке X. Докажите, что  BH = CX.

Прислать комментарий

Решение

Точки I_A, I_B, I_C – центры вневписанных окружностей треугольника ABC, касающихся сторон BC, AC и AB соответственно. Перпендикуляр, опущенный из I_A на AC, пересекает перпендикуляр, опущенный из I_B на BC, в точке X_C. Аналогично определяются точки X_A и X_B. Докажите, что прямые I_AX_A, I_BX_B и I_CX_C пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

а) Есть неограниченный набор карточек со словами "abc", "bca", "cab". Из них составляют слово по такому правилу. В качестве начального слова выбирается любая карточка, а далее на каждом шаге к имеющемуся слову можно либо приклеить карточку слева или справа, либо разрезать слово в любом месте (между буквами) и вклеить карточку туда. Можно ли так составить палиндром?

б) Есть неограниченный набор красных карточек со словами "abc", "bca", "cab" и синих карточек со словами "cba", "acb", "bac". Из них по тем же правилам составили палиндром. Верно ли, что было использовано одинаковое количество красных и синих карточек?

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 164 165 166 167 168 169 170 >> [Всего задач: 1032]