Страница: << 147 148 149 150 151 152 153 >> [Всего задач: 829]
На сторонах AB, BC, CD и DA параллелограмма ABCD взяты
соответственно точки M, N, K и L, причём AM : MB = CK : KD = ½, а
BN : NC = DL : LA = 1/3.
Найдите площадь четырёхугольника, вершины которого – пересечения отрезков AN, BK, CL и DM, если площадь параллелограмма ABCD равна 1.
Докажите, что проекции вершины A треугольника ABC
на биссектрисы внешних и внутренних углов при вершинах B и C лежат на одной прямой.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 9,10
|
Пусть A1 и C1 – точки касания вписанной окружности со сторонами BC и AB соответственно, а A' и C' – точки касания вневписанной окружности треугольника, вписанной в угол B, с продолжениями сторон BC и AB соответственно. Докажите, что ортоцентр H треугольника ABC лежит на A1C1 тогда и только тогда, когда прямые A'C1 и BA перпендикулярны.
В треугольнике ABC серединные перпендикуляры к сторонам AB и BC пересекают сторону AC в точках P и Q соответственно, причём точка P лежит на отрезке AQ. Докажите, что описанные окружности треугольников PBC и QBA пересекаются на биссектрисе угла PBQ.
|
|
|
Сложность: 4-
Классы: 8,9,10
|
Таня вырезала из клетчатой бумаги треугольник, изображённый на рисунке. Через некоторое время линии сетки выцвели. Сможет ли Таня их восстановить, не пользуясь никакими инструментами, а только перегибая треугольник? (Длины сторон треугольника Таня помнит.)
Страница: << 147 148 149 150 151 152 153 >> [Всего задач: 829]
Фильтр
