Фильтр
Выбрано 8 задач
Версия для печати
Убрать все задачи
Докажите, что произвольная последовательность Qn, заданная условиями
Решение
Решение
Решение
Решение
Из чисел x1, x2, x3, x4, x5 можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через a1, a2, ..., a10. Доказать, что зная числа a1, a2, ..., a10 (но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа x1, x2, x3, x4, x5. Решение
Существует ли правильный треугольник с вершинами в узлах целочисленной решетки?
Решение
На сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, лежащие на одной прямой. Докажите, что
. 
. 
. 
= 1.
Решение
Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая, проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок AC пополам.
Решение
Убрать все задачи
Докажите, что произвольная последовательность Qn, заданная условиями
Q0 = 
, Q1 = 
, Qn + 2 = Qn + 1 + Qn (n 
0),
может быть выражена через числа
Фибоначчи Fn и числа Люка Ln
(определение чисел Люка смотри в задаче
3.133).
Решение
Стороны треугольника равны a, b, c. Докажите, что медиана,
проведённая к стороне c, равна
.
РешениеПервоклассник Петя знает только цифру 1. Докажите, что он может написать число, делящееся на 1989.
РешениеВыпишем в ряд все правильные дроби со знаменателем n и сделаем возможные сокращения. Например, для n = 12 получится следующий ряд чисел: 0/1, 1/12, 1/6, 1/4, 1/3, 5/12, 1/2, 7/12, 2/3, 3/4, 5/6, 11/12 Сколько получится дробей со знаменателем d, если d – некоторый делитель числа n?
РешениеИз чисел x1, x2, x3, x4, x5 можно образовать десять попарных сумм; обозначим их через a1, a2, ..., a10. Доказать, что зная числа a1, a2, ..., a10 (но не зная, разумеется, суммой каких именно двух чисел является каждое из них), можно восстановить числа x1, x2, x3, x4, x5.
РешениеСуществует ли правильный треугольник с вершинами в узлах целочисленной решетки?
РешениеНа сторонах BC, CA и AB треугольника ABC (или на их продолжениях) взяты точки A1, B1 и C1, лежащие на одной прямой. Докажите, что
РешениеИз вершины C прямого угла треугольника ABC опущена высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая, проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок AC пополам.
Решение
Задачи
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 181]
Из вершины C прямого угла треугольника ABC опущена
высота CK, и в треугольнике ACK проведена биссектриса CE. Прямая,
проходящая через точку B параллельно CE, пересекает CK в
точке F. Докажите, что прямая EF делит отрезок AC пополам.
На прямых BC, CA и AB взяты точки A1, B1 и C1,
причем точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой. Прямые,
симметричные прямым AA1, BB1 и CC1 относительно соответствующих
биссектрис треугольника ABC, пересекают прямые BC, CA и AB в
точках A2, B2 и C2. Докажите, что точки A2, B2 и C2 лежат
на одной прямой.
Дан треугольник ABC. На прямых AB, BC и CA
взяты точки C1, A1 и B1, причем k из них лежат на сторонах
треугольника и 3 - k — на продолжениях сторон. Пусть
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
Вписанная (или вневписанная) окружность
треугольника ABC касается прямых BC, CA и AB в точках A1, B1
и C1. Докажите, что прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются
в одной точке.
Докажите, что высоты остроугольного треугольника
пересекаются в одной точке.
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 181]
Задача 56904 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56905 |
|
|
|
|
Решение |
Задача 56914 |
|
|
R = 
. 
. 
.
Докажите, что:
а) точки A1, B1 и C1 лежат на одной прямой тогда и только тогда, когда R = 1 и k четно (Менелай);
б) прямые AA1, BB1 и CC1 пересекаются в одной точке или параллельны тогда и только тогда, когда R = 1 и k нечетно (Чева).
|
|
|
Решение |
Задача 56915 |
|
|
|
|
|
Решение |
Задача 56917 |
|
|
|
|
|
Решение |
Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 181]
