Каталог по темам

Выбрано 14 задач

При каких значениях параметра a уравнение (a – 1)x² – 2(a + 1)x + 2(a + 1) = 0 имеет только одно неотрицательное решение?

Решение

Докажите, что уравнение прямой на комплексной плоскости всегда может быть записано в виде Bz – B z + C = 0, где C – чисто мнимое число.

Решение

В прямоугольнике 3×n стоят фишки трёх цветов, по n штук каждого цвета.
Доказать, что можно переставить фишки в каждой строке так, чтобы в каждом столбце были фишки всех цветов.

Решение

На стол кладут правильный 100-угольник, в вершинах которого написаны числа 1, 2, ..., 100. Затем эти числа переписывают в порядке удаления от переднего края стола. Если две вершины находятся на равном расстоянии от края, сначала выписывается левое число, затем правое. Выписаны всевозможные наборы чисел, соответствующие разным положениям 100-угольника. Вычислить сумму чисел, стоящих в этих наборах на 13-х местах слева.

Решение

При каких значениях параметра a оба корня уравнения (2 – a)x² – 3ax + 2a = 0 больше ½?

Решение

Автор: Грибалко А.В.

На доске написаны 2$n$ последовательных целых чисел. За ход можно разбить написанные числа на пары произвольным образом и каждую пару чисел заменить на их сумму и разность (не обязательно вычитать из большего числа меньшее, все замены происходят одновременно). Докажите, что на доске больше никогда не появятся 2$n$ последовательных чисел.

Решение

В соревновании участвуют 32 боксёра. Каждый боксёр в течение одного дня может проводить только один бой. Известно, что все боксёры имеют разную силу, и что сильнейший всегда выигрывает. Докажите, что за 15 дней можно определить место каждого боксёра.
(Расписание каждого дня соревнований составляется вечером накануне и в день соревнований не изменяется.)

Решение

Отрезок длиной 3ⁿ разбивается на три равные части. Первая и третья из них называются отмеченными. Каждый из отмеченных отрезков разбивается на три части, из которых первая и третья снова называются отмеченными и т.д. до тех пор, пока не получатся отрезки длиной 1. Концы всех отмеченных отрезков называются отмеченными точками. Доказать, что для любого целого k(1 $\le$ k $\le$ 3ⁿ) можно найти две отмеченные точки, расстояние между которыми равно k.

Решение

Сколько существует двузначных чисел, у которых цифра десятков больше цифры единиц?

Решение

Доказать, что для любых трёх бесконечных последовательностей натуральных чисел

a₁...	a_n	...
b₁...	b_n	...
c₁...	c_n	...

найдутся такие номера p и q, что

a_p $\displaystyle \ge$ a_q, b_p $\displaystyle \ge$ b_q, c_p $\displaystyle \ge$ c_q.

Решение

Автор: Заславский А.А.

Диагонали четырёхугольника ABCD равны и пересекаются в точке O. Серединные перпендикуляры к сторонам AB и CD пересекаются в точке P, а серединные перпендикуляры к сторонам BC и AD – в точке Q. Найдите угол POQ.

Решение

Хорда стягивает дугу в 90° и равна 16. Найдите её расстояние от центра.

Решение

Прямые у = kx + b, у = 2kx + 2b и у = bx + k различны и пересекаются в одной точке. Какими могут быть ее координаты?

Решение

Окружность радиуса r₁ касается сторон DA, AB и BC выпуклого четырехугольника ABCD, окружность радиуса r₂ — сторон AB, BC и CD; аналогично определяются r₃ и r₄. Докажите, что ${\frac{AB}{r_1}}$ + ${\frac{CD}{r_3}}$ = ${\frac{BC}{r_2}}$ + ${\frac{AD}{r_4}}$ .

Решение

Задача 57040

Задача 64745

Задача 57041

Задача 57042

Задача 57043