Подтемы:
- Разложение вектора по двум неколлинеарным векторам (30 задач)
- Векторы сторон многоугольников (16 задач)
- Скалярное произведение. Соотношения (37 задач)
- Неравенства с векторами (16 задач)
- Свойства суммы, разности векторов и произведения вектора на число (41 задача)
- Вспомогательные проекции (24 задачи)
- Метод усреднения (10 задач)
- Псевдоскалярное произведение (12 задач)
- Векторы помогают решить задачу (100 задач)
- Векторы (прочее) (13 задач)
Фильтр
Выбрано 16 задач Убрать все задачи
Сумма n последовательных натуральных чисел – простое число. Найдите все n, при которых это возможно.
В прямоугольном треугольнике $ABC$ (угол $C$ прямой) $BC=2AC$, $CH$ – высота, $O_1$ и $O_2$ – центры окружностей, вписанных соответственно в треугольники $ACH$ и $BCH$, а $O$ – центр окружности, вписанной в треугольник $ABC$. Пусть $H_1$, $H_2$ и $H_0$ – проекции точек $O_1$, $O_2$ и $O$ на гипотенузу. Докажите, что $H_1H=HH_0=H_0H_2$.
Дано несколько выпуклых многоугольников, причем
нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни
одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал
хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники
можно заключить в многоугольник, периметр которого
не превосходит суммы их периметров.
Незнайка рисует замкнутые пути внутри прямоугольника 5×8, идущие по диагоналям прямоугольников 1×2. На рисунке изображён пример пути, проходящего по 12 таким диагоналям. Помогите Незнайке нарисовать путь как можно длиннее.
На двух параллельных прямых a и b выбраны точки A1, A2, ..., Am и B1, B2, ..., Bn
соответственно и проведены все отрезки вида AiBj
(1 ≤ i ≤ m, 1 ≤ j ≤ n). Сколько будет точек пересечения, если известно, что никакие три из этих отрезков в одной точке не пересекаются?
Какое наименьшее натуральное число не является делителем 50!?
В центре квадратного пруда плавает ученик. Внезапно к вершине квадрата подошёл учитель. Учитель не умеет плавать, но бегает в 4 раза быстрее, чем ученик плавает. Ученик бегает быстрее. Сможет ли он убежать?
В треугольнике ABC AB = AC, угол A – тупой, BD – биссектриса, AM – высота, E – основание перпендикуляра, опущенного из D на сторону BC. Из точки D восставлен перпендикуляр к BD, который пересекает сторону BC в точке F. Известно, что ME = FC = a. Найдите площадь треугольника ABC.
С помощью циркуля и линейки по данному отрезку a, постройте отрезок b, где
а)
a = , b = 1;
б) a = 7,
b = .
Когда мальчик Клайв подошел к дедушкиным настенным часам с кукушкой, на них было 12 часов 5 минут. Клайв стал крутить пальцем минутную стрелку, пока часовая не вернулась на прежнее место. Сколько "ку-ку" насчитал за это время дедушка в соседней комнате?
Сторона AD прямоугольника ABCD в три раза больше стороны AB. Точки M и N делят AD на три равные части. Найдите ∠AMB + ∠ANB + ∠ADB.
Известно, что в выпуклом n-угольнике (n > 3) никакие три диагонали не проходят через одну точку.
Найдите число точек (отличных от вершины) пересечения пар диагоналей.
Можно ли через вершины куба провести 8 параллельных плоскостей так, чтобы расстояния между соседними плоскостями были равны?
Три шахматиста A, B и C сыграли матч-турнир (каждый с каждым сыграл одинаковое число партий). Может ли случиться, что по числу очков A занял первое место, C – последнее, а по числу побед, наоборот, A занял последнее место, C – первое (за победу присуждается одно очко, за ничью – пол-очка)?
Предположим, что нашлись 15 простых чисел, образующих арифметическую прогрессию с разностью d. Докажите, что d > 30000.
Внутри выпуклого n-угольника
A1A2...An взята
точка O так, что
+...+
=
.
Пусть
d = OA1 +...+ OAn. Докажите, что периметр многоугольника
не меньше 4d /n при n четном и не меньше
4dn/(n2 - 1) при n
нечетном.
Задачи Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 241]
Задача 57726 |
|
|
На плоскости даны четыре вектора a, b, c и d, сумма которых равна нулю. Докажите, что
|
|
Решение |
Задача 57738 |
|
|
Пусть H1, H2 и H3 — ортоцентры треугольников
A2A3A4, A1A3A4 и A1A2A4. Докажите, что площади
треугольников A1A2A3 и H1H2H3 равны.
|
|
|
Решение |
Задача 57739 |
|
|
В выпуклом пятиугольнике ABCDE, площадь которого равна S, площади треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB равны a, b, c, d и e. Докажите, что
|
|
|
Решение |
Задача 57708 |
|
|
Из точки O выходит n векторов единичной длины, причем
в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через
точку O, содержится не менее k векторов (предполагается,
что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина
суммы этих векторов не превосходит n - 2k.
|
|
|
Решение |
Задача 57727 |
|
|
Внутри выпуклого n-угольника
A1A2...An взята
точка O так, что
+...+
=
.
Пусть
d = OA1 +...+ OAn. Докажите, что периметр многоугольника
не меньше 4d /n при n четном и не меньше
4dn/(n2 - 1) при n
нечетном.
|
|
Решение |
Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 241]
