ЗАДАЧИ
problems.ru
О проекте | Об авторах | Справочник
Каталог по темам | по источникам |
К задаче N

Проект МЦНМО
при участии
школы 57
Фильтр
Сложность с по   Класс с по  
Выбрана 1 задача
Версия для печати
Убрать все задачи

Внутри выпуклого n-угольника A1A2...An взята точка O так, что $ \overrightarrow{OA_1}$ +...+ $ \overrightarrow{OA_n}$ = $ \overrightarrow{0}$. Пусть d = OA1 +...+ OAn. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n2 - 1) при n нечетном.

   Решение

Задачи

Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 239]      



Задача 57739

Тема:   [ Псевдоскалярное произведение ]
Сложность: 6
Классы: 8,9

В выпуклом пятиугольнике ABCDE, площадь которого равна S, площади треугольников ABC, BCD, CDE, DEA и EAB равны a, b, c, d и e. Докажите, что

S2 - S(a + b + c + d + e) + ab + bc + cd + de + ea = 0.

Прислать комментарий     Решение

Задача 57708

Тема:   [ Неравенства с векторами ]
Сложность: 6+
Классы: 9

Из точки O выходит n векторов единичной длины, причем в любой полуплоскости, ограниченной прямой, проходящей через точку O, содержится не менее k векторов (предполагается, что граничная прямая входит в полуплоскость). Докажите, что длина суммы этих векторов не превосходит n - 2k.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57727

Тема:   [ Метод усреднения ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Внутри выпуклого n-угольника A1A2...An взята точка O так, что $ \overrightarrow{OA_1}$ +...+ $ \overrightarrow{OA_n}$ = $ \overrightarrow{0}$. Пусть d = OA1 +...+ OAn. Докажите, что периметр многоугольника не меньше 4d /n при n четном и не меньше 4dn/(n2 - 1) при n нечетном.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57728

Тема:   [ Метод усреднения ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Длина проекции замкнутой выпуклой кривой на любую прямую равна 1. Докажите, что ее длина равна $ \pi$.
Прислать комментарий     Решение


Задача 57729

Тема:   [ Метод усреднения ]
Сложность: 6+
Классы: 9,10

Дано несколько выпуклых многоугольников, причем нельзя провести прямую так, чтобы она не пересекала ни одного многоугольника и по обе стороны от нее лежал хотя бы один многоугольник. Докажите, что эти многоугольники можно заключить в многоугольник, периметр которого не превосходит суммы их периметров.
Прислать комментарий     Решение


Страница: << 14 15 16 17 18 19 20 >> [Всего задач: 239]      



© 2004-... МЦНМО (о копирайте)
Пишите нам

Проект осуществляется при поддержке Департамента образования г.Москвы и ФЦП "Кадры" .