На некотором поле шахматной доски стоит фишка. Двое по очереди переставляют фишку, при этом на каждом ходу, начиная со второго, расстояние, на которое она перемещается, должно быть строго больше, чем на предыдущем ходу. Проигравшим считается тот, кто не может сделать очередной ход. Кто выигрывает при правильной игре? (Фишка ставится всегда точно в центр каждого поля.)

   Решение

В равнобедренном треугольнике ABC с основанием AC, равным 37, внешний угол при вершине B равен 60°.
Найдите расстояние от вершины C до прямой AB.

   Решение

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB₁C₁D₁ и  A₂B₂CD₂; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB₁B₂ перпендикулярна отрезку D₁D₂.

   Решение

Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 502]      

Квадрат разрезали на конечное число прямоугольников. Обязательно ли найдётся отрезок, соединяющий центры (точки пересечения диагоналей) двух прямоугольников, не имеющий общих точек ни с какими другими прямоугольниками, кроме этих двух?

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике ABC на сторонах AB и BC выбраны точки E и F так, что  AE = EF  и  ∠CEF = ∠B.  Точка K на отрезке EC такова, что  EK = FC.
Докажите, что отрезок, соединяющий середины отрезков AF и EC, в два раза короче KF.

Прислать комментарий

Решение

В треугольнике АВС проведена биссектриса АА₁. Докажите, что серединный перпендикуляр к АА₁, перпендикуляр к ВС, проходящий через точку А₁, и прямая АО (О – центр описанной окружности) пересекаются в одной точке.

Прислать комментарий

Решение

Дан треугольник ABC. Найдите множество центров прямоугольников PQRS, вершины Q и P которых лежат на стороне AC, вершины R и S — на сторонах AB и BC соответственно.

Прислать комментарий

Решение

На плоскости даны три (одинаково ориентированных) квадрата: ABCD, AB₁C₁D₁ и  A₂B₂CD₂; первый квадрат имеет с двумя другими общие вершины A и C. Докажите, что медиана BM треугольника BB₁B₂ перпендикулярна отрезку D₁D₂.

Прислать комментарий

Решение

Страница: << 85 86 87 88 89 90 91 >> [Всего задач: 502]