Версия для печати
Убрать все задачи

---

Двугранный угол между смежными боковыми гранями правильной четырёхугольной пирамиды равен α , а сторона основания равна b . Найдите объём пирамиды.

   Решение

---

Фокусник с помощником показывают фокус. В ряд стоят 13 закрытых пустых шкатулок. Фокусник уходит, а зритель на виду у помощника прячет по монетке в любые две шкатулки по своему выбору. Затем возвращается фокусник. Помощник открывает одну шкатулку, в которой нет монетки. Далее фокусник указывает на 4 шкатулки, и их одновременно открывают. Цель фокусника – открыть обе шкатулки с монетками. Предложите способ, как договориться фокуснику с помощником, чтобы этот фокус всегда удавался.

.

   Решение

---

В правильной треугольной пирамиде SABC с вершиной S проведена высота SD . На отрезке SD взята точка K так, что SK:KD = 1:3 . Известно, что боковые ребра образуют с основанием угол , а расстояние от точки K до боковой грани равно . Найдите объём пирамиды.

   Решение

---

F(x) – возрастающая функция, определённая на отрезке  [0, 1].  Известно, что область её значений принадлежит отрезку  [0, 1].  Доказать, что, каково бы ни было натуральное n, график функции можно покрыть N прямоугольниками, стороны которых параллельны осям координат так, что площадь каждого равна ¹/_n². (В прямоугольник мы включаем его внутренние точки и точки его границы.)

   Решение

---

Из конца A диаметра AC окружности опущен перпендикуляр AP на касательную, проведённую через лежащую на окружности точку B, отличную от A и C. Докажите, что AB – биссектриса угла PAC.

   Решение

---

Два парома одновременно отходят от противоположных берегов реки и пересекают её перпендикулярно берегам. Скорости паромов постоянны, но не равны. Паромы встречаются на расстоянии 720 м от берега, после чего продолжают движение. На обратном пути они встречаются в 400 м от другого берега. Какова ширина реки?

   Решение

---

В пространстве заданы три луча: DA, DB и DC, имеющие общее начало D, причём ∠ADB = ∠ADC = ∠BDC = 90°. Сфера пересекает луч DA в точках A₁ и A₂, луч DB – в точках B₁ и B₂, луч DC – в точках C₁ и C₂. Найдите площадь треугольника A₂B₂C₂, если площади треугольников DA₁B₁, DA₁C₁, DB₁C₁ и DA₂B₂ равны соответственно , 10, 6 и 40.

   Решение

---

Дана полуокружность с диаметром AB. Для каждой точки X этой полуокружности на луче XA откладывается точка Y так, что XY = kXB. Найдите ГМТ Y.

   Решение

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями  

---

Задача 57072

Темы:   [ Правильные многоугольники ] [ Теоремы Чевы и Менелая ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 4- Классы: 9,10,11

В правильном восемнадцатиугольнике A₀...A₁₇ проведены диагонали A₀A_p+3, A_p+1A_18–r и A₁A_p+q+3.
Докажите, что указанные диагонали пересекаются в одной точке в любом из следующих случаев:
  а)  {p, q, r} = {1, 3, 4},
  б)  {p, q, r} = {2, 2, 3}.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 57004

Темы:   [ Прямая Эйлера и окружность девяти точек ] [ Взаимное расположение двух окружностей ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Векторы помогают решить задачу ]

Сложность: 4 Классы: 8,9

Углы треугольника ABC удовлетворяют соотношению  sin²A + sin²B + sin²C = 1.
Докажите, что его описанная окружность и окружность девяти точек пересекаются под прямым углом.

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 79501

Темы:   [ Неравенства с биссектрисами ] [ Теорема синусов ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Вписанные и описанные окружности ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Биссектриса угла A треугольника ABC продолжена до пересечения в D с описанной вокруг него окружностью. Докажите, что AD > 1/2 (AB + AC).

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 111266

Темы:   [ Симметричные неравенства для углов треугольника ] [ Неравенства для углов треугольника ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ] [ Тригонометрические неравенства ] [ Теорема синусов ] [ Неравенства с описанными, вписанными и вневписанными окружностями ] [ Неравенства с медианами ]

Сложность: 4+ Классы: 9,10,11

Докажите, что если α , β и γ – углы остроугольного треугольника, то sinα + sinβ + sinγ > 2 .

Прислать комментарий

Решение

---

Задача 58017

Темы:   [ Поворотная гомотетия ] [ Гомотетия: построения и геометрические места точек ] [ Применение тригонометрических формул (геометрия) ]

Сложность: 5- Классы: 9,10,11

Дана полуокружность с диаметром AB. Для каждой точки X этой полуокружности на луче XA откладывается точка Y так, что XY = kXB. Найдите ГМТ Y.

Прислать комментарий

Решение

---

Страница: << 3 4 5 6 7 8 9 >> [Всего задач: 64]      

по 1 по 2 по 5 по 10 по 20 по 50 по 100   с решениями